E (数学常数)

第一次提到常数${\displaystyle e}$，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把${\displaystyle e}$看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。

已知的第一次用到常数${\displaystyle e}$，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以${\displaystyle b}$表示。1727年欧拉开始用${\displaystyle e}$来表示这常数；而${\displaystyle e}$第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（）。虽然往后年日有研究者用字母${\displaystyle c}$表示，但${\displaystyle e}$较常用，终于成为标准。

用${\displaystyle e}$表示的原因确实不明，但可能因为${\displaystyle e}$是指数函数（）一字的首字母。另一看法则称${\displaystyle a,b,c,d}$有其他经常用途，而${\displaystyle e}$是第一个可用字母。

就像圆周率${\displaystyle \pi }$和虚数单位i，${\displaystyle e}$是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。

1. 定义${\displaystyle e}$为下列极限值：

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

   ${\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}$

2. 定义${\displaystyle e}$为阶乘倒数之无穷级数的和[5]：

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

   其中${\displaystyle n!}$代表${\displaystyle n}$的阶乘。

3. 定义${\displaystyle e}$为唯一的正数${\displaystyle x}$使得

   ${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}$

4. 定义${\displaystyle e}$为唯一的实数${\displaystyle x}$使得

   ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1}$

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述。

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ 的极大值在${\displaystyle x=e}$.

很多增长或衰减过程都可以用指数函数仿真。指数函数${\displaystyle e^{x}}$的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即${\displaystyle x\mapsto ke^{x}}$，其中${\displaystyle k}$为任意常数）与自身导数相等。即：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$。

${\displaystyle e^{x}}$的泰勒级数为${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x}$

${\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$

${\displaystyle x}$为复数时依然成立，因此根据${\displaystyle \sin x}$及${\displaystyle \cos x}$的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x}$

当${\displaystyle x=\pi }$的特例是欧拉恒等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$

此式被理乍得·费曼称为「欧拉的宝石」。

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

即棣莫弗公式。

• ${\displaystyle e}$是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（）于1873年证明。有猜想它为正规数。
• 当${\displaystyle x=e}$时函数${\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}$有最大值。
• ${\displaystyle e}$的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（ A003417）

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]}$

就像以下的展开式：

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的${\displaystyle e}$十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。
• Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在麻萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在${\displaystyle e}$的连续数字中第一个发现的十位质数.com）。解决了这问题（第一个${\displaystyle e}$中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。
• 著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的版本号码趋向${\displaystyle e}$（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

• e的π次方
• 无理数
• 超越数
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