超现实数

让我们先来看几个简单的例子。

${\displaystyle \{|\}=0}$

${\displaystyle \{0|\}=1}$

${\displaystyle \{1|\}=2}$

${\displaystyle \{|0\}=-1}$

${\displaystyle \{|-1\}=-2}$

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

${\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}$

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$，${\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}$，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

根据归纳法，我们可以构造出 ${\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}$，${\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}$ 等无穷大的数，${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}$ 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

我们定义 ${\displaystyle P_{0}={0}}$。

若 ${\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}$ 且 ${\displaystyle x\not \in P_{i}}$，那么 ${\displaystyle x\in P_{i+1}}$，这在直观上等价于“${\displaystyle x}$是在第${\displaystyle i}$天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

• ${\displaystyle 1,-1\in P_{1}}$
• ${\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}$
• ${\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}$
• ${\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}$
• ${\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}$，其中${\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}$
• ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}$

我们将超现实数集合称作 ${\displaystyle \mathbb {No} }$。

我们定义超现实数之间的加法为 ${\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}$，其中 ${\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}$。

我们定义负号（加法逆元）为 ${\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}$，其中 ${\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}$。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

我们定义乘法运算为${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$，其中 ${\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}$。

我们定义（正数的）乘法逆元为${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$，这样除法就是 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}$。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取${\textstyle y=3=\{2|\}}$ 那么 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 会有一个 ${\textstyle 0}$ 作为左项，导致了${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$ 会是一个右项。这又意味着 ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$ 作为左项、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$ 作为右项，以此类推，所以我们有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ （考虑两边的串行在实数中分别收敛到 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$，因此是兼容的）。

对于负数，我们定义 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}$。

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'}$，其中 ${\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} }$，那么立刻可知存在 ${\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的一个超现实数表示，其中 ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} }$ 是有理数到超现实数的域同态。

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4]。所有序数的全体记为${\displaystyle \mathbb {Ord} }$，那么我们有：

• ${\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}$

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 ${\displaystyle \omega -1}$ 这一式子的值在序数中的结果是 ${\displaystyle \omega }$，而在超现实数中则是 ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}$.