5的算术平方根
5的算术平方根是一个正的实数,为无理数[1],一般称为“根号5”,记为 。乘以它本身的值为5。
5的平方根 | ||
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命名 | ||
名称 | 5的算术平方根 5的平方根 根号5 | |
识别 | ||
种类 | 无理数 | |
符号 | ||
位数数列编号 | ![]() | |
性质 | ||
连分数 | [注 1] | |
以此为根的多项式或函数 | ||
表示方式 | ||
值 | 2.236067977... | |
二进制 | 10.001111000110111011110011… | |
十进制 | 2.236067977499789696409173… | |
十六进制 | 2.3C6EF372FE94F82BE73980C0… | |
和黄金比值有关。5的算术平方根数值为:
可以四舍五入为2.236,有99.99%的准确度。截至1994年4月,其数值在小数点后已计算到至少100万个位数[2]。
连分数表示法
可以表示为连分数[2; 4, 4, 4, 4, 4...] (OEIS数列A040002)。最佳有理数逼近的数列如下:
绿色的数字是的连分数的渐近分数,其分子为数列A001077,而分母则为数列A001076。其他黑色的数字则是半收敛的部份。
和黄金比例及费氏数列的关系

黄金比例是 和1的算术平均数[3]。 、黄金比例和共轭黄金比例()之间的代数关系可以用以下几个数学式来表示:
斐波那契数列也可以用包括及黄金比例的式子来表示:
除以得到的商(或和Φ的积)及其倒数的连分数有特别的模式,而且和费氏数列及卢卡斯数的比值有关[4]:
其有理数逼近的数列,分子及分母分别为费氏数列及卢卡斯数:
几何上的意义
在几何学上,利用勾股定理可以证明长为2、宽为1的长方形,其对角线长度为。将一个正方形切成二等份或将二个正方形并在一起都可以产生上述的长方形。
以上的作法配合及黄金比例之间的代数关系,可以绘制黄金矩形,而一个正五边形的对角线和边长的比例也恰为黄金比例,因此也可在已知边长的条件下,绘制正五边形。
一个长宽比例为的长方形称做「根号5矩形」,是根矩形的一种,属于动态矩形的一类。动态矩形是一系列的矩形,由一个正方形开始,以前一个矩形的对角线为下一个矩形的长边,因此长边依序为 (= 1), , , (= 2), ...[5]。
根号5矩形之所以特别,是因为可以分割成一个正方形及二个大小相同的黄金矩形(二边长为),或是二个大小不同的黄金矩形(二边长分别为及)[6]。也可以变成二个大小相同、有重叠部份的黄金矩形(二边长为),其重叠部份恰好形成一个正方形。上述的特性都是因为, 及之间的代数关系所产生。
和丢番图逼近的关系
丢番图逼近中的Hurwitz定理说明每个无理数x可以被无穷多个有理数的最简分数m/n近似,且满足以下的不等式
此处的是最佳可能的常数,若选择其他较大的常数,就会存在一些无理数x,只存在有限多个满足上述不等式的有理数最简分式[7]。
另一个定理也和上述定理有关[8],任意三个针对无理数的连续收敛有理数逼近 , , , 以下的不等式至少会有一个成立:
而分母的也是最佳可能的常数,在逼近黄金比例时,此常数可以使左侧的差值任意的逼近右侧的数值。即使考虑四个或更多个连续的有理数逼近,也无法找到其他常数,可以使上界数值更小且满足类似条件[8]。
抽象代数中的意义
环 中的数均可表示为的形式,其中和为整数,而为虚数。此环是一个整环,但不是唯一分解整环。例如在此环中,6的质因数分解方式就有二种:
代数数域 和其他二次域一様,都是有理数的代数扩张,因此依Kronecker–Weber theorem可证明5的平方根可以表示为单位根的有理线性组合:
注释
- 令, 由观察可知,即, 解方程,取正根,得, 因此。
参考数据
- Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
- R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 (页面存档备份,存于)
- Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1.
- Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675–712
- Kimberly Elam, , New York: Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1568982496
- Jay Hambidge, , Courier Dover Publications, 1967, ISBN 0486217760
- LeVeque, William Judson, , Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1956, MR0080682
- Khinchin, Aleksandr Yakovlevich, , University of Chicago Press, Chicago and London, 1964
- Ramanathan, K. G., , Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 1984, 93 (2): 67–77, ISSN 0253-4142, doi:10.1007/BF02840651, MR813071
- Eric W. Weisstein, , [2010-12-19], (原始内容存档于2011-01-24) at MathWorld