双复数

双复数是拥有以下形式的超复数：

t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in R

的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
上超实数

其他

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

而 $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$

线性表示法

在双复数 $t=w+xi+yj+zk,\$ 中，请注意由于ij=k，所以 $t=(w+xi)+(y+zi)j\$ 。这映射

t\mapsto {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}},\quad p=w+xi,\quad q=y+zi

。

是一个以2x2的复数矩阵组成的双复数的线性表示方式。

例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的线性表示法是

{\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

请注意这代数矩阵与其他代数矩阵的分别是：这代数矩阵是一个可交换的代数矩阵。