八元数

八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为「octaves」。[1]^:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。[2]格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些[3]。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，[2]因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。[4]

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数P与Q的组合，即 P+Q l 或${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$，其中，量l为其中一个八元数单位并满足：[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}$

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成[6]

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

其中系数x_a是实数。 这些八元数单位亦满足：[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}$

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。[6]

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -il}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$
${\displaystyle l}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle il}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$
${\displaystyle jl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -i}$
${\displaystyle kl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$

一些不同的定义方式会将八元数的单比特素表达为e_a的线性组合，其中 a=0, 1,..., 7 ：[7]

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

当中的${\displaystyle e_{0}}$为实数单位。每个八元数单比特素皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数 x 都可以写成以下形式[8]：

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$[9]^:5

其中x_i为单比特素e_i的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出[7]，其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述：[10]

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$[11]		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

除了主对角在线以及${\displaystyle e_{0}}$作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下：[12]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其中δ_ij为克罗内克δ函数（当且仅当i = j时为1）、 ε_ijk为完全反对称张量，且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。[9]

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是${\displaystyle e_{0}=1}$八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以通过置换和改变非标量基元素${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$的符号来获得。[13]这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e₁e₂ = e₄的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排串行表e_n和${\displaystyle ijkl}$格式的矩阵。[14]

此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为${\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}$。[15]

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也视为一条直线），称为法诺平面。[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。[18]

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：[18]

ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换。这些规则[18]

• 1是乘法单比特，
• 对于图中的每一个点，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一个子代数，与四元数${\displaystyle \mathbb {H} }$同构。[8]^:151-152

八元数的乘法既不是交换的：[9]^:6

${\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}$

也不是结合的：[5]^:41

${\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}$

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性[9]^:2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。[9]^:3实际上，我们可以证明，由${\displaystyle \mathbb {O} }$的任何两个元素所生成的子代数都与${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$或${\displaystyle \mathbb {H} }$同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。[9]

八元数确实保留了${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$和${\displaystyle \mathbb {H} }$共同拥有的一个重要的性质：${\displaystyle \mathbb {O} }$上的范数满足

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}$

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。[19]

这样，实数域上唯一的赋范可除代数是${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {H} }$和${\displaystyle \mathbb {O} }$。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。[8]^:155

由于八元数不是结合的，因此${\displaystyle \mathbb {O} }$的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

• 双曲复数
• 四元数
• 十六元数
• Spin(8)
• PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。

1. 在范数可良好定义的前提下，${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle x^{*}x>0}$[16]，因此可以得到${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$总是非负实数的结论。

• Baez, John, , Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09）. Online HTML version at . （原始内容存档于2008-10-09）.
• Conway, John Horton; Smith, Derek A., , A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9. （. （原始内容存档于2016-09-10）.）