双曲复数

对于${\displaystyle z=x+jy}$，其共轭值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$。对于任何双曲复数${\displaystyle z,w}$，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$

可见它是自同构的。

定义内积为 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$ 。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$ ，说${\displaystyle z,w}$（双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$。

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$

由此可见，双曲复数可逆若且唯若其平方范数非零。其形式均为${\displaystyle k(1\pm j)}$，其中${\displaystyle k}$是实数。

双曲复数的幂等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$。有四个解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$ 。

若将${\displaystyle z=ae+be^{*}}$表示成${\displaystyle (a,b)}$，双曲复数的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$ 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$，范数${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$。