超复数

克里福代数是由赋有二次型的矢量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称纯量积${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$，正交化该二次型，以得到基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$，满足：

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

由乘法封闭性，该矢量空间的基相乘得到${\displaystyle 2^{k}}$个克里福数，即${\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}$，皆为克里福代数的元素，且组成该代数的基（不同于原矢量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原矢量空间的基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即${\displaystyle e_{i}}$）有奇数对抑或偶数对。所以，${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$，但${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$。

若不允许${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$（即二次型非退化），则余下的克里福代数可记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$，表示其为${\displaystyle p}$个满足${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$的简单基元和${\displaystyle q}$个满足${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$的简单基元生成的代数，而括号内的${\displaystyle \mathbb {R} }$指明此为实域上的克里福代数，即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。

此族代数包括：复数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$、双曲复数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}$，四元数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$、分裂复四元数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$、分裂四元数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}$（二维空间生成的自然代数）、${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}$（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、时空代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$。

代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$可以视为代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$的偶子代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$，从而可用作描述${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。

虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克里福代数皆可结合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯有关克里福代数的书中，论及「子代数的辨认」。其命题11.4总结超复数的情况：[17]

设${\displaystyle A}$为实结合代数，且具有单比特${\displaystyle 1}$。则

• ${\displaystyle 1}$生成${\displaystyle \mathbb {R} }$（实子代数），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何满足${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$的元素，则其生成的二维子代数与${\displaystyle \mathbb {C} }$同构（复子代数），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何满足${\displaystyle e_{0}^{2}=+1}$的元素，则其生成的二维子代数与${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$同构（此处${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交换，则${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四维子代数同构于${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元数代数），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交换，则${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四维子代数同构于${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}$（元素为${\displaystyle 2\times 2}$实矩阵，或分裂四元数），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于${\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }$（分裂复四元数代数），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$（元素为${\displaystyle 2\times 2}$复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。

超出该些古典代数的延伸，见克里福代数的分类。

撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克里福代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$皆含有平方为${\displaystyle +1}$的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为${\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}$的数系，该些数系的基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}$满足：所有非实的基元两两反交换，且${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$。在8维或以上时（即${\displaystyle n\geq 3}$），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即${\displaystyle n\geq 4}$），该些代数有零因子。

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。

凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到复合代数中的「分裂代数」，而非除代数：

分裂复数系：有基${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$，

分裂四元数系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$，

分裂八元数系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}$，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$，${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$。

与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。

两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。

作为例子，取2维实代数${\displaystyle \mathbb {C} }$（复数系）、4维实代数${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元数系）、8维实代数${\displaystyle \mathbb {O} }$（八元数系），分别与${\displaystyle \mathbb {C} }$作张量积，依次得4维的双复数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$、8维的复四元数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$、16维的复八元数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$。

• 多重复数：其组成复域上的${\displaystyle 2^{n-1}}$维矢量空间。
• 复合代数：赋有二次型的代数，其中二次型与乘法可互换次序。