结合律

形式上，一个在集合${\displaystyle S}$上的二元运算${\displaystyle *}$被称之为可结合的若其满足下面的结合律：

${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in S}$。

运算的顺序并不会影响到表达式的值，且可证明这在含有「任意」多个${\displaystyle \ast }$运算的表达式之下也依然是成立的。因此，当${\displaystyle \ast }$是可结合的时，运算的顺序可以不需要去规范而不会使其意义不清，所以可以省略掉括号而简单写成：

${\displaystyle x*y*z.\,}$

不过，需要记住的是，改变运算的顺序并不包含或允许以移动表达式中的运算元来改变其真实的运算。

一些可结合的运算的例子如下。

• 在算术中，实数的加法和乘法都是可结合的，即：

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {R} .}$

• 复数和四元数的加法与乘法是可结合的。八元数的加法也是可结合的，但其乘法则是不可结合的。

• 最大公因数和最小公倍数的运算都是可结合的。

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

• 因为线性变换是个可表示成矩阵的函数，其中的函数复合则可以用矩阵乘法来表示，立即可知矩阵乘法为可结合的。

• 集合的交集和联集为可结合的：

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}\forall A,B,C.}$

• 若${\displaystyle M}$是某个集合且${\displaystyle S}$为所有从${\displaystyle M}$映射至${\displaystyle M}$的函数所组成的集合，则在${\displaystyle S}$上的函数复合的运算是可结合的：

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad \forall f,g,h\in S}$。

• 更一般性地，给定四个集合${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$、${\displaystyle P}$和${\displaystyle Q}$，且${\displaystyle h:M\to N,g:N\to P}$、${\displaystyle f:P\to Q}$，则

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}$

和前面一样。简单地说，映射的复合总会是可结合的。

• 给定一个有三个元素${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$的集合，其运算如下：

${\displaystyle +}$
${\displaystyle \times }$	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

是可结合的。不过，此运算不是可交换的。

一个在集合${\displaystyle S}$上的二元运算*若不满足结合律，则称之为不可结合的。表示成符号即为：

${\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad \exists x,y,z\in S}$。

在此一运算下，运算的顺序是有影响的。减法、除法和幂都是不可结合运算的简单例子：

${\displaystyle {\begin{matrix}(5-3)-2\neq 5-(3-2)\quad \\(4/2)/2\neq 4/(2/2)\qquad \qquad \\2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}.\quad \qquad \qquad \end{matrix}}}$

一般，当不可结合运算在一个表示出现多于一次时，括号就必须被使用来表示其运算顺序。不过，数学家会对若干常见的不可结合运算采用一种特别的运算顺序的规则。这单纯只是个为了减少括号的语法约定。

• 半群是一个有着封闭可结合二元运算的集合。
• 交换律和分配律是另两个在二元运算中常被讨论的性质。
• 递移关系
• 幂结合性和可代替性是两个弱型式的结合律。