−1

−1的平方亦即−1乘于−1，等于1。意即，两负实数相乘为一正实数。

代数证明此结果

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$

第一个等式取自上一段落的结果。第二个等式是根据「−1是1的加法逆元」。 再使用分配律，我们得到

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$

第三个等式依据是：1是乘法运算的单比特。然后在等式前后加上1

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

以上运算适用于任意环。

复数${\displaystyle i}$满足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$，也可视为-1的平方根。另一个能满足x² = −1的复数x是−i。[1]四元数的代数包含复数平面，等式x² = −1拥有无限多组解。

我们定义${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$，即代数x的−1次方，或代数x的倒数。可将此定义结合指数定律${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }$ 。 负数整数形式的指数可以拓展到环的逆元素，定义${\displaystyle x^{-1}}$作为${\displaystyle x}$的乘法逆元。

函数或矩阵右上的-1不是指数，而是反函数与反矩阵。例如：${\displaystyle f^{-1}(x)}$是${\displaystyle f(x)}$的反函数，${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$是反正弦函数。

包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，可以得出-1的自然对数${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$。