空多胞形

在抽象几何学中，空多胞形，又称虚无多胞形（英语：）或零胞体（英语：）是指不存在任何元素的多胞形[1]，对应到集合论中即为空集[2]。在抽象理论中，所有多胞形都含有空多胞形[3]，对应到集合论中即为空集是任意集合的子集，因此有时会称空多胞形为所有多胞形的基底或本质[4]。空多胞形的维度是负一维[5][6][7][8] ，是所有多胞形中维度数最低的元素[9][10][11]。在空多胞形中，最高维度的元素和最低维度的元素是同一个元素[12]。此外，所有空多胞形皆属于正图形[13]。

虚无多胞形
Null polytope
上图以正方形展示一个二维正多胞形的组成元素：一个二维正多胞形（正方形）、四个一维正多胞形（线段）、四个零维正多胞形（顶点）和一个负一维正多胞形（空集）
类型抽象多胞形
维度-1
对偶多胞形自身对偶
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号
性质
胞无任何维度的胞
特性
正、空集合、抽象

负一维空间

在抽象几何学中，负一维空间表示比零维空间还低一个维度的负维空间，其代表了空多胞形本身的维度，由于空多胞形是一个空集合，因此负一维空间也等于一个空空间（英语：、或称虚无空间、零空间）[3]。也可以定义更低的维度作为空多胞形的基底，或空多胞形的维面，即超空多胞形（英语：），存于负二维空间[14]，不过由于空多胞形已经是空集合了，因此一般不会给「空多胞形的维面」加以定义，或可以理解为超空多胞形并不存在，即空多胞形的维面不存在，或负二维空间不存在，否则如此定义可以一直不停递归下去，例如讨论「超空多胞形的维面」的定义，这不具有任何意义，且这概念仅有出现在文学作品中[15]，尚未有普遍接受的学术定义。

负一维空间仅是在抽象理论表示一个比零维多胞形更低维度的一个元词。此外存于负一维空间的多胞形只有空多胞形。[16]

正零胞形
正零胞形
类别空多胞形
正图形
对偶多面体自身对偶
性质
胞0
面0
欧拉特征数未定义

依据正图形的定义，一个多胞形必须要具备严格的特征可递特性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，而零维多胞形的元素仅有{F−1, F0}、负一维多胞形的元素仅有{F−1}。由于在抽象理论中，所有多胞形都含有空多胞形[3]因此正零胞形也必须是正图形才能满足所有元素都是正图形的定义。

另外，正零边形也可以视为零维或以下的正图形，或看做是空多胞形。

参见

参考文献
  1. H. S. M. Coxeter. . Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589.
  2. Johnson, Norman. . Citeseer. 2003 [2016-08-02]. （原始内容存档于2017-03-05）.
  3. Guy Inchbald. . steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）.
  4. . polytope.net. [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-11-26）.
  5. JOHNSON, Norman. Polytopes-abstract （页面存档备份，存于） and real. 2003.
  6. Olshevsky, George. . Unpublished manuscript. 2006.
  7. Showers, Patrick J. (Ph.D.论文). University of Akron. 2013.
  8. Guy Inchbald. . steelpillow. [2021-08-02]. （原始内容存档于2018-10-18）.
  9. Fernández, Jose Abraham Caravaca. "Seminar. （页面存档备份，存于）"
  10. SHOWERS, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets. 2013. PhD Thesis. University of Akron.
  11. Johnson, N.W., , Cambridge University Press: pp. 224–225, 2018 [2021-08-04], ISBN 9781107103405, LCCN 2017009670, （原始内容存档于2021-08-04）
  12. Diudea, Mircea Vasile, , Multi-shell Polyhedral Clusters (Springer), 2018: 37––54, ISBN 978-3-319-64123-2, doi:10.1007/978-3-319-64123-2_3
  13. N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
  14. Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). . Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-26）.
  15. Wood, E. . Second Dimension. Createspace Independent Pub. 2015. ISBN 9781505724806.
  16. . [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-02）.

外部链接
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