环 (代数)

()是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算(记作「」和「」,常被简称为加法乘法,但与一般所说的實數加法和乘法不同)所构成的,符合一些性质(具体见下)的代数结构。

环的定義类似于交换群,只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「⋅」(注意我们这里所说的「+」與「⋅」一般不是我们所熟知的四则运算加法乘法)。在抽象代数中,研究的分支为环论

定义

為集合, 為定義於其上的二元運算(一種二變數函數)。以下依照二元運算的慣例,將運算結果 分別簡記為

被稱為,若它滿足:

  1. 交換群 ,即:
    • 結合律:對所有的
    • 單位元:存在 ,對所有的 (可由上面的性質證明這樣的 是唯一的, 這樣的 稱為加法單位元
    • 反元素:對所有的 存在 使 (可以由上面的性質證明這樣的 是唯一的,通常簡記為 並稱為 加法反元素)
    • 交換律:對所有的
  2. 半群,即:
    • 結合律:對所有的
  3. 乘法對于加法满足分配律,即對所有的 有:

其中 常會被暱稱為加法;類似的 會被暱稱為乘法,因為取 實數系), 為普通的實數加法且 為普通的實數乘法的話,顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 ,所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 簡寫為

所以慣例上仿造實數乘法把 簡寫為 ;而且因為實數乘法優先於實數加法,所以也會規定 的簡寫。此外還會仿造實數減法,會把 簡寫為

定義的分歧

在1960年代以前,多數抽象代数的書籍並不將乘法單位元列入環的定義;有些不要求乘法單位元的作者,會將包含乘法單位元的環稱為「單位環」;反之,有些要求乘法單位元的作者,會將不含乘法單位元的環稱為「偽環」。

基本性质

為環,則對所有 有:

I.

證明:

  1. (單位元)
  2. (式1等號兩邊於左側同乘
  3. (分配律)
  4. (式2, 式3)
  5. (式4等號兩邊於右側加
  6. (以反元素化簡式5)

可調換 的順序, 仿上證明

II.

證明:

  1. (加法交換律、分配律、加法逆元素)
  2. (上面的性質I)

的確是 的加法反元素,仿上可證明 也是 的加法反元素。

环的相关概念

特殊的环

幺环
若环中,构成幺半群,,使得,有,则称幺环。此时幺半群的幺元,亦称为环的幺元。
交换环
若环中,还满足交换律,从而构成交换半群,即,有,则称交换环
无零因子环
中没有非的零因子,则称无零因子环
  • 此定义等价于以下任何一条:
    • 对乘法形成半群;
    • 对乘法封闭;
    • 中非元素的乘积非
整环
无零因子的交换幺环称为整环

例:整数环,多项式环

唯一分解环
若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解,称R是唯一分解环.
除环
若环是幺环,且上的乘法形成一个,即,使得。则称除环
  • 除环不一定是交换环。反例:四元数环。
  • 交换的除环是
主理想环
每个理想都是主理想的整环称为主理想环
单环
若幺环R中的极大理想是零理想,则称R为单环
商环
質环

例子

  • 集环:非空集的集合构成一个环,当且仅当它满足以下几个条件中任何一个:
    • 对集合的并和差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∪F∈R,E-F∈R;
    • 对集合的交和对称差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∩F∈R,E△F∈R;
    • 对集合的交,差以及无交并运算封闭。
这样得到的集环以交为乘法,对称差为加法;以空集为零元,并且由于∀E∈R,E∩E=E·E=E,因此它还是布尔环

环的理想

考虑环,依环的定义知阿贝尔群。集合,考虑以下条件:

  1. 构成的子群。
  2. ,有
  3. ,有

满足条件1、2则称右理想;若满足条件1、3则称左理想;若满足条件1、2、3,即既是的右理想,也是的左理想,则称双边理想,简称理想

示例

  • 整数环的理想:整数环只有形如的理想。

基本性质

  • 在环中,(左/右/双边)理想的和与交仍然是(左/右/双边)理想。
  • 在除环中,(左/右)理想只有平凡(左/右)理想。
  • 对于环R的两个理想,记。则由定义易知:
    1. 的左理想,则的左理想;
    2. 的右理想,则的右理想;
    3. 的左理想,的右理想,则的双边理想。

相关概念

真(左/右/双边)理想
的(左/右/双边)理想I满足:真子集,称真(左/右/双边)理想
极大(左/右/双边)理想
及其真(左/右/双边)理想,称的极大(左/右/双边)理想,若不存在的真(左/右/双边)理想,使得真子集
  • 是极大(左/右)理想,又是双边理想,则是极大理想。
  • 极大双边理想不一定是极大(左/右)理想。
生成理想
,定义,则易知:
  • 是环的理想,并且中所有包含子集的理想的交,即中包含子集的最小理想。
由子集生成的理想,称生成元集。当是有限集时,称有限生成理想
  • 下面是生成理想的几种特殊情况:
    1. 是交换环时,
    2. 是幺环时,
    3. 是交换幺环时,
  • 同一个理想,其生成元集可能不唯一。
主理想
由环中单个元素生成的理想称为主理想。即,设,则称为的主理想。
素理想
真理想被称为的素理想,若理想,则
素环
若环的零理想是素理想,则称是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环中,真理想是素理想的充分且必要条件是:是素环.
半素理想
的真理想,若理想,则称是环半素理想
  • 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想,因为素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想。
  • 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中,如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环,域也是单环。反之则不尽然,即存在不是除环的单环。
  • 定理1:在整数环中,由生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:是素数。
  • 定理2:设是有单位元的交换环。理想的极大理想的充分且必要条件是:商环是域。
  • 定理3:设是环的左理想,则的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在中的左理想J都有

有关环的其它概念

  • 零因子 (zero divisor):
是环中的非零元素,如果,称为左零因子;类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。
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