反正弦

反正弦的符号是arcsin，也常常写作${\displaystyle \sin ^{-1}}$。如此写法可以被接受的理由是，正弦函数的倒数是余割，有单独的写法，因此不易和${\displaystyle \sin ^{-1}}$混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中，反正弦会以asin或asn表示。

原始的定义是将正弦函数限制在${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$（[-90°,90°]）的反函数，得到如下定义域和值域：

${\displaystyle \arcsin$ :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}

（${\displaystyle \arcsin$ :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-90^{\circ },90^{\circ }\right]} ）

利用自然对数可将定义推广到整个复数集：

${\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$

拓展到复数的反正弦函数

反正弦函数的导数是：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

故实数域内，它在整个定义域上单调递增。

反正弦函数的泰勒级数是：

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots }$.

反正弦函数是奇函数，故：

${\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x}$

另外，反正弦的和差也可以合并成一个反正弦来表达：

${\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}$

其中${\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)}$。

和差公式：

${\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}$

倍变量公式：

${\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}$（对0 ≤ kx ≤ 1）

${\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}$

• 正弦