反函数
定义与存在性
设为一函数,其定义域为,陪域为。如果存在一函数,其定义域和陪域分别为,并对任意有 、对任意有,则称为的反函数,记之为。[注 1]
与限制的关系
一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如
并不是单射,因和均为。但若取其到上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数
反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性,如
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数通常定义为正弦函数到上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域,称作其主值。
性质
- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如
参考资料
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