加法逆元

加法逆元（additive inverse）又称相反数（）、反数，其定义是对于任意数 $a$ ，存在相反数满足其与 $a$ 的和为零（加法单比特）； $a$ 的加法逆元表示为 $-a$ 。

在实数中，数 $a$ 的相反数 $-a$ ，称为其加法逆元；相对地，数 $a$ 的倒数 ${\frac {1}{a}}$ 或 $a^{-1}$ ，则称为其乘法逆元。

一般定义

设「+」为一个交换性的二元运算，即对于所有 $x$ , $y$ , $x+y=y+x$ 。若该集合中存在一个元素 $0$ ，使得对于所有 $x$ , $x+0=0+x=x$ ，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的 $x$ ，存在一个 $x'$ 使得 $x+x'=x'+x=0$ ，则称 $x'$ 是 $x$ 的加法逆元。

特殊情况

定义

若「+」满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。

证明

反证法：设 $x$ 有两个相异的加法逆元 $x_{1}$ 、 $x_{2}$
有 $x=x+0$ 的关系。
⇒ $0=x+x_{1}=x+x_{2}$
⇒ $x_{1}=x_{2}$
产生矛盾，证讫。

例

矢量空间：纯量乘法 $-1$
欧几里得空间：以原点为中心的反演变换

参考文献

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