幂等

设${\displaystyle S}$为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则${\displaystyle S}$的元素${\displaystyle s}$称为幂等的(相对于${\displaystyle *}$)当[1][2]

${\displaystyle s*s=s}$

特别的是，任一单比特都是幂等的。若${\displaystyle S}$的所有元素都是幂等的话，则其二元运算*被称做是幂等的。例如，联集和交集的运算便都是幂等的。

设${\displaystyle f}$为一由${\displaystyle X}$映射至${\displaystyle X}$的一元运算，则${\displaystyle f}$为幂等的，当对于所有在${\displaystyle X}$内的${\displaystyle x}$，

${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$

特别的是，恒等函数一定是幂等的，且任一常数函数也都是幂等的。

注意当考虑一由${\displaystyle X}$至${\displaystyle X}$的所有函数所组成的集合${\displaystyle S}$时，${\displaystyle f}$在一元运算下为幂等的若且唯若在二元运算下，${\displaystyle f}$相对于其复合运算(标记为${\displaystyle o}$)会是幂等的。这可以写成${\displaystyle f\operatorname {o} f=f}$。

如上述所说，恒等函数和常数函数总会是幂等的。较不当然的例子有实数或复数参数的绝对值函数，以及实数参数的高斯符号。

将一拓扑空间X内各子集U映射至U闭包的函数在X的幂集上是幂等的。这是闭包操作数的一个例子；所有个闭包操作数都会是幂等函数。

定义上，环的幂等元素为一相对于环乘法为幂等的元素。可以定义一于环幂等上的偏序：若e和f为幂等的，当ef = fe = e时，标记为e ≤ f。依其顺序，0会是最小幂等元素，而1为最大幂等元素。

若e在环R内为幂等的，则eRe一样会是个乘法单比特为e的环。

两个幂等元素e和f被称为正交的当ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是幂等的，且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。

若e在环R内为幂等的，则f = 1 − e也会是幂等的，且e和f正交。

一在R内的幂等元素e称为内核的，若对所有在R内的x，ex=xe。在此情形之下，Re会是个乘法单比特为e的环。R的内核幂等元素和R的分解为环的直和有很直接的关接。若R为环R₁、...、R_n的直和，则环R_i的单比特在R内为内核幂等的，相互正交，且其总和为1。相反地，给出R内给相互正交且总和为1的内核幂等元素e₁、...、e_n，则R会是环Re₁、...、Re_n的直和。所有较有趣的是，每一于R内的内核幂等e都会给出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。

任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为e(1 − e) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。

所有元素都幂等的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的加法逆元。

幂等运算也可以在布尔代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。

在线性代数里，投影是幂等的。亦即，每一将矢量投射至一子空间V（不需正交）上的线性算子，都是幂等的。

一幂等半环为其加法（非乘法）为幂等的半环。