多元微积分

设${\displaystyle E}$是${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个开集，${\displaystyle f}$是定义在${\displaystyle E}$上的函数。给${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对${\displaystyle E}$中的每个点${\displaystyle a}$，${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$处连续当且仅当

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \alpha >0,(||x-a||<\alpha \wedge x\in E)\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$

在多元微积分领域，对函數極限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。[1]^:19-22例如，函数

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$

沿任何直线 ${\displaystyle y=kx}$ 趋近于原点 ${\displaystyle (0,0)}$ 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 ${\displaystyle y=x^{2}}$ 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:[1]^:17-19 例如, 含有两个变量的实数函数 ${\displaystyle f(x,y)}$，对于每一个固定的 ${\displaystyle y}$ ， ${\displaystyle f}$ 关于 ${\displaystyle x}$ 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle f}$ 关于 ${\displaystyle y}$ 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

举一个例子，考虑函数

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}}$

很容易验证，在实数域中，定义函数： ${\displaystyle f_{y}(x):=f(x,y)}$，则对于每一个固定的 ${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle f_{y}(x)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上连续。同理，函数${\displaystyle f_{x}}$ 也是关于 ${\displaystyle y}$ 的连续函数。然而，函数 ${\displaystyle f}$ 在原点是不连续的。 考虑序列 ${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)}$ ( ${\displaystyle n}$ 为自然数)，若在原点连续其结果应为 ${\displaystyle f(0,0)=0}$ 。然而，通过计算知其在原点的极限为 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.}$。 因此， ${\displaystyle f}$ 在原点不连续。

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。[1]^:26ff

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子(${\displaystyle \nabla }$)依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或「PDE」。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。[1]^:654ff

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。[1]^:367ff

可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：[1]^:543ff

• 梯度定理
• 斯托克斯定理
• 高斯散度定理
• 格林公式

在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。

向量分析研究欧式空间中足够光滑的标量和矢量场，即欧式空间${\displaystyle E}$中的一个开集到 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$和${\displaystyle E}$的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。

不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的${\displaystyle E}$常限制为${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和地球物理学的基本工具。