隐函数定理

讓函数${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，則单位圆就可以写成满足方程式${\displaystyle f(x,y)-1=0}$的点的集合。在圆上的点A附近，y 可以表示成 x 的函数： ${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$，但點B就不行（因為在點B附近，一個 x 會對應到兩個 y 的值）。

有函數 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，那么方程式 ${\displaystyle f(x,y)-1=0}$ 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 ${\displaystyle y=h(x)}$ 的形式的，因为每个${\displaystyle x\in (-1,1),}$都有两个${\displaystyle y}$的值与之对应，即${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$。

然而在某些點附近，局部地用 ${\displaystyle x}$ 來表示 ${\displaystyle y}$ 是可能的。比如给定圆上一点 ${\displaystyle (x,y)}$，如果 ${\displaystyle y>0}$，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 ${\displaystyle y}$ 可以写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数：${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$。如果 ${\displaystyle y<0}$，在圓的下半部分 ${\displaystyle y}$ 也可以写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数：${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$。

但是，在点 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ 的附近，${\displaystyle y}$ 无法写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 ${\displaystyle x}$，都有两个 ${\displaystyle y}$ 的值与之对应，這種情況下 ${\displaystyle y}$ 無法寫成 ${\displaystyle x}$ 的函數。

设 f : R^n+m → R^m 为一个连续可微函数。这里R^n+m 被看作是两个空间的直积： Rⁿ×R^m，于是 R^n+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: Rⁿ → R^m ，讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。

固定一点(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) 使得 f(a, b) = 0，我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的鄰域 U ⊆ Rⁿ 和 b 的邻域 V ⊆ R^m 以及函數：h : U → V，使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是說：

${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}$。

要保證这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作：

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$

其中的矩阵 ${\displaystyle X}$ 是函數 f 关于變數 x 的偏微分，而矩陣 ${\displaystyle Y}$ 是 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果${\displaystyle Y}$是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的敘述就是：

设 f : R^n+m → R^m 为连续可微函数，讓 R^n+m 中的坐标记为 (x, y), (x, y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m)。给定一点  (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) = (a,b) 使得   f(a,b)=0（0 ∈ R^m，是個零向量）。如果 m×m 矩陣 [(∂f_i / ∂y_j)(a, b) 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 ${\displaystyle Y}$），那么存在 a 的邻域 U ⊆ Rⁿ、b 的邻域 V ⊆ R^m 以及唯一的连续可微函数 h:U → V，使得

${\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }$

且

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,}$ 對所有的 ${\displaystyle \mathbf {x} \in U}$。

设${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$和${\displaystyle F}$是三个巴拿赫空间，而${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$分别是${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$上的两个开集。设函数：

${\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}$

是一個${\displaystyle k~(k\geq 1)}$階可微函數（見Fréchet導數），并且对于${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$中的一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$，满足：

• ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$
• 映射 ${\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}$ 是一個從${\displaystyle E_{2}}$到${\displaystyle F}$的同構

那么有如下结论：

存在${\displaystyle x_{0}}$的邻域 ${\displaystyle U_{0}\subset U}$ 、 ${\displaystyle y_{0}}$的邻域 ${\displaystyle V_{0}\subset V}$ ，以及 ${\displaystyle k}$ 階Fréchet可微函數${\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}$，使得：

对任意${\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}$，只要${\displaystyle f(x,y)=0}$，就有${\displaystyle y=\varphi (x)}$。

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

• （英文）Arne Hallam. (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）.
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