均差
均差(Divided differences)是递归除法过程。在数值分析中,可用于计算牛顿多项式形式的多项式插值的系数。在微积分中,均差与导数一起合称差商,是对函数在一个区间内的平均变化率的测量[1][2][3]。
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均差也是一种算法,查尔斯·巴贝奇的差分机,是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算机,在历史上意图用来计算对数表和三角函数表, 它设计在其运算中使用这个算法[4]。
定义
给定n+1个数据点
定义前向均差为:
定义后向均差为:
表示法
假定数据点给出为函数 ƒ,
其均差可以写为:
对函数 ƒ 在节点 x0, ..., xn 上的均差还有其他表示法,如:
牛顿插值法

牛顿插值公式,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。
使用均差的牛顿插值法为[10]:
可以在计算过程中任意增添节点如点(xn+1,yn+1),只需计算添加的n+1阶均差及其插值基函数,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。
对均差采用展开形式[11]:
以2阶均差牛顿插值为例:
前向差分
当数据点呈等距分布的时候,这个特殊情况叫做“前向差分”。它们比计算一般的均差要容易。
例子
插值公式
其对应的牛顿插值公式为:
无穷级数
牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了ln(1+x)的无穷级数,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的无穷级数,在1669年的《分析学》中发表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的无穷级数;莱布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[14]中研讨了“有限差分”方法,其中论述了他在1712年得出的泰勒定理,这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出,而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。
他对牛顿的均差的步长取趋于0的极限,得出:
泰勒形式
泰勒级数和任何其他的函数级数,在原理上都可以用来逼近均差。将泰勒级数表示为:
均差的泰勒级数为:
前项消失了,因为均差的阶高于多项式的阶。可以得出均差的泰勒级数本质上开始于:
依据均差中值定理,这也是均差的最简单逼近。
注释与引用
- Frank C. Wilson; Scott Adamson. . Cengage Learning. 2008: 177. ISBN 0-618-61104-5.
- Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. . Kaplan Publishing. 2014: 237. ISBN 978-1-61865-686-5.
- Thomas Hungerford; Douglas Shaw. . Cengage Learning. 2008: 211–212. ISBN 0-495-10833-2.
- Isaacson, Walter. . Simon & Schuster. 2014: 20. ISBN 978-1-4767-0869-0.
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- 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
- 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
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- . [2019-04-19]. (原始内容存档于2019-04-19).
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- Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas. 9th. 2011: 129.
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- Methodus Incrementorum Directa et Inversa(页面存档备份,存于)
参考书目
- Louis Melville Milne-Thomson. . American Mathematical Soc. 2000. Chapter 1: Divided Differences [1933]. ISBN 978-0-8218-2107-7.
- Myron B. Allen; Eli L. Isaacson. . John Wiley & Sons. 1998. Appendix A. ISBN 978-1-118-03027-1.
- Ron Goldman. . Morgan Kaufmann. 2002. Chapter 4:Newton Interpolation and Difference Triangles. ISBN 978-0-08-051547-2.