微积分基本定理

設 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$於 ${\displaystyle [a,b]}$ 黎曼可積分，定義函數 ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ 如下：

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt}$

則

1. ${\displaystyle F}$ 於閉區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 連續
2. 若 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle c\in [a,\,b]}$ 連續，則${\displaystyle F'(c)=f(c)}$

图解

若兩函數 ${\displaystyle f,F:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ 滿足：

• ${\displaystyle [\forall x\in (a,b)][F'(x)=f(x)]}$ （即 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一个原函數）
• ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle [a,b]}$ 黎曼可積分

則有：

${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)}$

可簡記為

${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(x){\bigg |}_{a}^{b}}$

(1)${\displaystyle F}$ 於 ${\displaystyle [a,b]}$ 連續

因為 ${\displaystyle f}$ 為黎曼可積，所以 ${\displaystyle f}$ 有界 (否則會有矛盾) ，也就是存在 ${\displaystyle M>0}$ 使

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ (對所有的 ${\displaystyle x\in [a,\,b]}$)

根據黎曼積分的定義，若取 ${\displaystyle x,\,c\in [a,\,b]}$ 則

${\displaystyle |F(x)-F(c)|=\left|\int _{c}^{x}f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|}$

那這樣，如果取 ${\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{M}}}$ 且 ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ，則

${\displaystyle |F(x)-F(c)|<\epsilon }$

那根據函數極限的定義，可以得到

${\displaystyle \lim _{x\to c}F(x)=F(c)}$

故得証。 ${\displaystyle \Box }$

(2)若 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle c\in [a,\,b]}$ 連續，則${\displaystyle F'(c)=f(c)}$

${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle c}$ 連續意為：對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，都存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使得所有的 ${\displaystyle f}$ 定義域裡的 ${\displaystyle x}$ 只要滿足 ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ 就有 ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\epsilon }$

而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的 ${\displaystyle g:[r,\,s]\to \mathbb {R} }$ 有 ${\displaystyle (\forall x\in [r,\,s])[|g(x)|\leq M]}$ ，則

${\displaystyle \int _{r}^{s}g(t)\,dt\leq \int _{r}^{s}|g(t)|\,dt\leq M(s-r)}$

這樣考慮上述連續定義 ${\displaystyle 0<x-c<\delta }$ 的部分會有

${\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{x-c}}\left[\int _{c}^{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (x-c)}{x-c}}\right|=\epsilon }$

類似的， ${\displaystyle 0<c-x<\delta }$ 的部分會有

${\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{c-x}}\left[\int _{x}^{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (c-x)}{c-x}}\right|=\epsilon }$

那同樣根據函數極限的定義，就有

${\displaystyle F^{\prime }(c)=\lim _{x\to c}{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}=f(c)}$

即為所求。 ${\displaystyle \Box }$

设${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，并设${\displaystyle F}$为${\displaystyle f}$的原函数。我们从以下表达式开始

${\displaystyle F(b)-F(a)\,.}$

设有数

${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

使得

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\,.}$

可得

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,.}$

我们加上${\displaystyle F(x_{i})}$及其相反数，这样等式仍成立：

${\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,.\end{matrix}}}$

以上表达式可用以下的和表示：

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\,.\qquad (1)}$

我们将使用均值定理。就是：

设${\displaystyle F}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$连续，在开区间${\displaystyle (a,b)}$可导，则开区间${\displaystyle (a,b)}$内一定存在${\displaystyle c}$使得

${\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.}$

可得

${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,}$

函数${\displaystyle F}$在区间${\displaystyle [a,b]}$可导，所以在每一个区间${\displaystyle x_{i-1}}$也是可导和连续的。因此，根据均值定理，

${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.}$

把上式代入(1)，得

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.}$

根据第一部分的结论，我们有${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})}$。另外，${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$可表示为第${\displaystyle i}$个小区间的${\displaystyle \Delta x}$。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)}$

一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，${\displaystyle \Delta x_{i}}$并不需要对于任何${\displaystyle i}$都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用${\displaystyle n}$个矩形来近似代替曲线。现在，当${\displaystyle n}$增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

${\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$

${\displaystyle F(b)}$和${\displaystyle F(a)}$都不依赖于${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\Delta \end{Vmatrix}}}$，所以左面的极限仍然是${\displaystyle F(b)-F(a)}$。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$

右边的表达式定义了${\displaystyle f}$从${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$的积分。这样，我们有

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$

证明完毕。