抛物线

在焦点上的点光源发出的光线，经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴。典型应用如手电筒。

• 过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上；

• 过抛物线焦弦两端的切线互相垂直；

• 以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切；

• 过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直；

• 过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分；

• 过焦弦的一端作准线的垂线，垂足、顶点和焦弦的另一端点三点共线；

• 由焦弦两端分别作准线的垂线，两垂足与抛物线焦点的连线互相垂直；

抛物线的标准方程有四个：
${\displaystyle y^{2}=2px\quad \left(p>0\right)}$（开口向右）；
${\displaystyle y^{2}=-2px\quad \left(p>0\right)}$（开口向左）；
${\displaystyle x^{2}=2py\quad \left(p>0\right)}$（开口向上）；
${\displaystyle x^{2}=-2py\quad \left(p>0\right)}$（开口向下）；
（p为焦准距）

• 在抛物线${\displaystyle y^{2}=4cx\quad \left(c>0\right)}$中，焦点是${\displaystyle F\left(c,0\right)}$，准线${\displaystyle l}$的方程是${\displaystyle x=-c}$；
• 在抛物线${\displaystyle y^{2}=-4cx\quad \left(c>0\right)}$中，焦点是${\displaystyle F\left(-c,0\right)}$，准线${\displaystyle l}$的方程是${\displaystyle x=c}$；
• 在抛物线${\displaystyle x^{2}=4cy\quad \left(c>0\right)}$中，焦点是${\displaystyle F\left(0,c\right)}$，准线${\displaystyle l}$的方程是${\displaystyle y=-c}$；
• 在抛物线${\displaystyle x^{2}=-4cy\quad \left(c>0\right)}$中，焦点是${\displaystyle F\left(0,-c\right)}$，准线${\displaystyle l}$的方程是${\displaystyle y=c}$；
  • c=焦点至顶点之距离的绝对值

焦点在 x 轴正半轴的抛物线参数方程为：

${\displaystyle {\begin{cases}x=2pt^{2}\\y=2pt\end{cases}}}$

抛物在线任意一点P${\displaystyle (x,y)}$至准线${\displaystyle ax+by+c=0}$之距离与P至焦点C${\displaystyle (C_{1},C_{2})}$的距离恒等
故得${\displaystyle {\sqrt {(x-C_{1})^{2}+(y-C_{2})^{2}}}={\frac {|ax+by+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

抛物线的准线方程：将抛物线的方程化为标准形式：

抛物线的方程：${\displaystyle y^{2}=2px}$，焦点在x轴上 它的准线为：${\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}p}$

抛物线的方程：${\displaystyle x^{2}=2py}$，焦点在y轴上 它的准线为：${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}p}$

安东尼·高第所设计的米拉公寓的拱型结构

• 抛物线平移${\displaystyle (y-k)^{2}=4c(x-h)}$是自顶点${\displaystyle (0,0)}$（上式）移至顶点${\displaystyle (h,k)}$

1. 截距：抛物线在${\displaystyle x}$轴和${\displaystyle y}$轴上的截距都是${\displaystyle 0}$，也就是说，抛物线经过坐标原点，这个点是抛物线的顶点。
2. 对称性：抛物线关于${\displaystyle x}$轴对称。
3. 范围：因为${\displaystyle y=\pm 2{\sqrt {cx}}\quad (p>0)}$，所以当${\displaystyle x\geq 0}$时，y才有实数值。又因为${\displaystyle x={\frac {y^{2}}{4c}}}$，所以${\displaystyle y}$可取任何实数值。当${\displaystyle x}$增大时，${\displaystyle y}$的绝对值也随之增大，因此该抛物线在${\displaystyle y}$轴的右侧向上、向下无限伸展。
4. 离心率：抛物线上一点到焦点的距离与这一点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率等于${\displaystyle 1}$。

若抛物线方程序为：${\displaystyle (y-k)^{2}=4c(x-h)}$，

则过此抛物在线一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$之切线方程序为 ${\displaystyle (y_{0}-k)(y-k)=4c{\frac {(x_{0}-h)+(x-h)}{2}}}$

若抛物线方程序为：${\displaystyle (x-h)^{2}=4c(y-k)}$，

则过此抛物在线一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$之切线方程序为 ${\displaystyle (x_{0}-h)(x-h)=4c{\frac {(y_{0}-k)+(y-k)}{2}}}$

• 记忆方式：抛物线中的${\displaystyle x,y}$项，二次项为两半，${\displaystyle x^{2}}$改成${\displaystyle x_{0}\cdot x}$，

${\displaystyle x}$改成${\displaystyle {\frac {x_{0}+x}{2}}}$，

${\displaystyle y^{2}}$改成${\displaystyle y_{0}\cdot y}$， ${\displaystyle y}$改成${\displaystyle {\frac {y_{0}+y}{2}}}$，

• 一般式${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$及${\displaystyle x=ay^{2}+by+c}$亦同 (${\displaystyle a\neq 0}$)