项测试

项测试和其他较强的收敛测试不同，此测试方式只能确认级数是否发散，不能确认级数是否收敛。若不符合此测试的条件，无法判定级数是收敛或是发散。例如：

• 若 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$ 则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 可能收敛也可能发散，此条件下无法用此测试判定级数是否收敛。

调和级数就是不符合此测试的发散条件，却又是发散级数的典型范例。调和级数是以下p级数的特例：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

配合项测试及其他测试，可得到以下的结果：

• 若p ≤ 0，根据项测试可知此级数发散。
• 若0 < p ≤ 1，根据项测试无法判定级数发散或收敛，根据积分判别法可判定此级数发散。
• 若1 < p，根据项测试无法判定级数发散或收敛，根据积分判别法可判定此级数收敛。

要证明此测试法，一般都会证明其逆否命题（contrapositive）形式；

• 若${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收敛，则${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

项测试最简单的版本可以用在实数的无穷级数中。上述的二个证明也可以在适用在赋范矢量空间中[5]。

• Brabenec, Robert. . MAA. 2005. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard. . World Scientific. 2006. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. . American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter. 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James. 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. . Springer. 2003. ISBN 1402016166.