驻点

在分析力学里，虚功原理阐明，对于一个静态平衡系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总合等于零，以方程序表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,}$；

其中，${\displaystyle \delta W\,}$是虚功，${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$是第${\displaystyle i\,}$个外力，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$是对应于${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$的虚位移。

转换为以广义力${\displaystyle F_{i}\,}$和广义坐标${\displaystyle q_{i}\,}$表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}F_{i}\delta q_{i}=0\,}$；

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是一个纯量的广义位势函数${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$的对于其对应的广义坐标的导数：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\,}$。

虚功与广义位势的关系为

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0\,}$。

所以，一个静态平衡系统的位势${\displaystyle V\,}$乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这这系统处于稳定状态，则位势${\displaystyle V\,}$必须是个局域极小值。

在变分法里，欧拉-拉格朗日方程序是从其对应的泛函的平稳点推导出的一种微分方程序。设置

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$内对于所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\,\!}$，欧拉-拉格朗日方程序成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\,\!}$。

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