除法

${\displaystyle b\mid a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍数，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因数。

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，记作${\displaystyle 5\mid 15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因为余数为${\displaystyle 2}$），记作${\displaystyle 6\nmid 20}$。在${\displaystyle \mid }$上加一条斜线即表示不整除。

长除法俗称「长除」，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$的过程可以表示为：

${\displaystyle 1260257\div 37}$的演算过程

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算${\displaystyle 3\div 7}$的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420}$的质因数分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420,270}$的最大公因数及最小公倍数：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$