环论

抽象代数中，环论（英语：）是针对一种称为环的代数结构之研究，环类似可交换群，有定义运算「+」，此外又定义另一种运算「·」（此处的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整数中定义的加法及乘法有类似性质）。环论研究环的结构、环的代数表现方式（或称为modules）、特殊的环（例如群环、除环、泛包络代数等），也包括一些和环论有关的定理以及其应用，例如同调代数、及PI环。

环论
基础概念 环 子环 理想 分式理想 商环 完全商环 积环 环同态 核 内自同构 弗罗贝尼乌斯自同态 代数结构 模 代数 结合代数 阶化环 *-代数 环的范畴 相关结构 非结合环 李环 约尔旦环 半环 半体
交换代数 交换环 整环 整闭整环 GCD环 唯一分解整环 主理想整环 欧几里得整环 复合环 多项式环 形式幂级数环 代数数论 代数数域 整数环 代数独立 超越数论 超越次数 P进数 P整数 P有理数 代数几何 仿射簇
非交换代数 非交换环 除环 半本原环 单纯环 交换子 非交换代数几何 自由代数 克利福德代数 几何代数 操作数代数

交换环是指其中运算「·」符合交换律的环，本身比较容易理解。代数几何及代数数论中有许多交换环的例子，也带动了交换环理论的发展，这部份后来称为交换代数，是现代数学中的主要领域之一。代数几何、代数数论及交换代数在本质上链接的非常紧密，因此有时很难去区分某特定数学原理属于哪个领域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理，但是陈述及证明时都是以交换代数的方式进行。而费马大定理问题的形式是以基本的算术方式（属于交换代数的一部份）呈现，但其证明用到很深的代数几何及代数数论。

非交换环是指其中运算「·」不符合交换律的环，会有一些和交换环不同的的特殊特性。非交换环此一数学概念本身也在进展，而近来的也有一些研究将特定的非交换环以几何的方式表示，例如在（不存在的）非交换空间下的函数环。这种趋势自1980年代开始发展，也和量子群的出现同时。目前对非交换环已有多一些的认识，尤其是非交换的诺特环[1]。

在「环 (代数)」条目中，有环的定义以及其基本的概念及性质。