内自同构

若g在G的中心Z(G)内，则${\displaystyle \iota _{g}}$是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言，${\displaystyle \iota _{g}}$的不动点集，正是g的中心化子C_G(g)。

内自同构${\displaystyle \iota _{g}}$的逆元是${\displaystyle \iota _{g}^{-1}=\iota _{g^{-1}}}$。两个内自同构${\displaystyle \iota _{g},\iota _{h}}$的复合是${\displaystyle \iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}}$

由群的中心的基本性质可知，若Inn(G)是循环群，则Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G无中心，则G称为完备群。

若G是完满群且Inn(G)是单群，则G称为拟单群。

群G的内自同构组成内自同构群Inn(G)。内自同构群Inn(G)与群G对其中心Z(G)的商群G/Z(G)同构。

内自同构群Inn(G)是G的自同构群Aut(G)中的正规子群，其对应商群记为Out(G)=Aut(G)/Inn(G)，称为外自同构群。

上述关系可以用以下两个短正合列表示：

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1}$

群G的子群H是G的正规子群，当H在G的任一内自同构的作用下不变。这时G的内自同构限制到H上是H的自同构（未必是H的内自同构），因而有群同态${\displaystyle G\to \mathrm {Aut} (H)}$。这个群同态的核是H在G中的中心化子C_G(H)。

对一般的子群H，可取其在G中的范式子N_G(H)，则H是N_G(H)的正规子群，故有群同态${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)内，即

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)/\mathrm {C} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$

是单射。

• Rotman, Joseph J., , Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).