代数 (环论)

给定一个交换环 ${\displaystyle A}$ 。

一样给定一个交换环 ${\displaystyle A}$ 。

给定一个四元组 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 。 这是一个${\displaystyle A}$上的结合代数（${\displaystyle resp.}$结合且有单位的代数、${\displaystyle resp.}$结合、有单位且交换的代数）当且仅当以下三个条件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ 是一个 ${\displaystyle A}$-模。
2. ${\displaystyle (E,+,\times )}$ 是一个环（${\displaystyle resp.}$一个幺环、${\displaystyle resp.}$一个交换环）。
3. ${\displaystyle \times }$是一个 ${\displaystyle E}$ 的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），并且是${\displaystyle A}$-双线性的。

注：上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为：

• ${\displaystyle \times }$是一个 ${\displaystyle E}$ 的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），并符合${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数：

• 给定一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$-代数 ${\displaystyle E}$ 就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的环同态。（${\displaystyle Z(E)}$ 代表环 ${\displaystyle E}$ 的中心，也就是 ${\displaystyle Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}}$）。

原因是如果 ${\displaystyle E}$ 是一个结合且有单位的${\displaystyle A}$-代数，那么 ${\displaystyle E}$ 是一个环并且 ${\displaystyle f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E}$ 是一个环同态，满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$。反过来看，如果 ${\displaystyle E}$ 是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个满足 ${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的环同态，那么我们可以定义外部运算${\displaystyle \cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x}$（即${\displaystyle a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x}$）。${\displaystyle E}$ 上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 ${\displaystyle A}$-模并且成为一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$-代数。

将上述性质套用在交换环上，我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法：

• 给定一个结合、有单位且交换的 ${\displaystyle A}$-代数 ${\displaystyle E}$ 就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一个交换环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个的环同态。

设 ${\displaystyle E,F}$ 是 ${\displaystyle A}$-代数，${\displaystyle A}$-模间的同态 ${\displaystyle \phi :E\rightarrow F}$ 被称作 ${\displaystyle A}$-代数间的同态，若且唯若它满足 ${\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$。因此所有 ${\displaystyle A}$-代数构成一个范畴，也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。

设 ${\displaystyle E}$ 是 ${\displaystyle A}$-代数。当 ${\displaystyle E}$ 是个自由的有限秩 ${\displaystyle A}$-模（当 ${\displaystyle A}$ 为域且${\displaystyle \dim _{A}E<\infty }$ 时自动成立）时，可选定一组基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$，并将乘法写作

${\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad }$ （采用爱因斯坦记号）

此时常数 ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in A}$ 称作 ${\displaystyle E}$ 对基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ 的结构常数。

• 对于${\displaystyle n\geq 2}$，矩阵环 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ 附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 对二阶以上的矩阵环，假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 ${\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2}$，此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
• 欧氏空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。这是一个李代数的例子。
• 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 是一个非交换但结合且有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 是一个非交换、非结合但有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$所形成的集合，附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。

除了交换结合代数外，一般常研究的几类代数包括李代数、克里福代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构，并要求代数运算是连续的；最突出的例子是巴拿赫代数，这是现代泛函分析的基石之一。

• 结合代数
• 代数同态
• 李代数

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6