群环

在抽象代数中，群环是从一个群 ${\displaystyle G}$ 及交换环 ${\displaystyle R}$ 构造出的环，通常记为 ${\displaystyle R[G]}$ 或 ${\displaystyle RG}$。其定义为：

${\displaystyle R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad }$ （换言之，这是由基底 ${\displaystyle \{e_{g}:g\in G\}}$ 张出的自由 ${\displaystyle R}$-模）

其上的 ${\displaystyle R}$-线性乘法运算由 ${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}}$ 给出。${\displaystyle R[G]}$ 对 ${\displaystyle R}$-模的加法与上述乘法形成一个 ${\displaystyle R}$-代数。乘法单比特素为 ${\displaystyle 1:=e_{e}}$。

最常用的是 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ 或 ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ 的群环。对于后者，${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ 成为 ${\displaystyle G}$ 的表示：${\displaystyle s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}}$；若 ${\displaystyle G}$ 为有限群，则称此表示为正则表示。正则表示与有限群的表示理论有密切的联系。

对于无穷阶的群 ${\displaystyle G}$，迄今对群环的结构仍所知甚少。对于局部紧拓扑群，通常采用 ${\displaystyle C_{c}(G)}$ 或 ${\displaystyle L^{1}(G)}$ 对卷积构成的代数，较有利于研究群的拓扑性质及其表示。