诺特环

一个环${\displaystyle A}$称作诺特环，若且唯若对每个由${\displaystyle A}$的理想构成的升链${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots ,\subset {\mathfrak {a}}_{n}\subset \ldots }$，必存在${\displaystyle N\subset \mathbb {N} }$，使得对所有的${\displaystyle n,m\geq N}$都有${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}}$（换言之，此升链将会固定）。

另外一种等价的定义是：${\displaystyle A}$的每个理想都是有限生成的。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左诺特环与右诺特环。${\displaystyle A}$是左（右）诺特环若且唯若${\displaystyle A}$在自己的左乘法下形成一个左（右）诺特模。对于交换环则无须分别左右。

• 若${\displaystyle A_{1},A_{2}}$是诺特环，则其直积${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$亦然。
• 若${\displaystyle A}$是诺特环，${\displaystyle I\subset A}$是任一理想，则其商环${\displaystyle A/I}$亦然。
• 若${\displaystyle A}$是诺特环，则其上的多项式环${\displaystyle A[X]}$及幂级数环${\displaystyle A[[X]]}$都是诺特环。
• 若${\displaystyle A}$是交换诺特环，则其对任一积性子集${\displaystyle S}$的局部化也是诺特环。
• 若${\displaystyle A}$是交换环，${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset A}$为一有限生成理想，且${\displaystyle A/{\mathfrak {q}}}$是诺特环，则其完备化${\displaystyle {\widehat {A}}=\lim _{n}A/{\mathfrak {q}}^{n}}$也是诺特环。
• 一个左（右）阿廷环必定是左（右）诺特环。

• 整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$是诺特环。
• 对任意的域${\displaystyle k}$，多项式环${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$及其商是诺特环。这是代数几何中最常见的情形。

以下是非诺特环的例子：

• 考虑有可数个变元的多项式环${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ]}$，并考虑升链${\displaystyle (X_{1})\subset (X_{1},X_{2})\subset \cdots \subset (X_{1},\ldots ,X_{n})\subset \cdots }$，此升链不会固定。
• 考虑${\displaystyle \mathbb {R} }$上的全体连续函数，它们在逐点作乘法下构成一个环。考虑升链${\displaystyle I_{n}:=\{f:x\geq n\Rightarrow f(x)=0\}}$，此升链不会固定。

• 埃雷斯曼联络
• 仿射联络
• 曲率形式

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X