四进位

四进制是以4底数进制,以 0123 四个数字表示任何实数

记数系统
印度-阿拉伯数字系统
西方阿拉伯数字
阿拉伯文数字
高棉数字
孟加拉数字
印度数字
波罗米数字
泰语数字
汉字文化圈记数系统
中文数字
闽南语数字
越南语数字
算筹
日语数字
数字
苏州码子
字母记数系统
阿拉伯字母数字
亚美尼亚数字
西里尔数字
吉兹数字
希伯来数字
希腊数字
阿利耶波多数字
其它记数系统
阿提卡数字
巴比伦数字
古埃及数字
伊特拉斯坎数字
玛雅数字
罗马数字
熙笃会数字
卡克托维克数字
底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12
16 20 36 60

四进制与所有固定底数记数系统有着很多共同的属性,比如以标准的形式表示任何实数的能力(近乎独特),以及表示有理数无理数的特性。有关属性的讨论可参考十进制二进制

与二进制的关系

八进制十六进制记数系统一样,四进制二进制有着一种特别的关系:各底数包括 4816 均为 2,故此,四进制八进制十六进制,与二进制之间的换算技术,乃是一个数字对两个、三个或四个二进制位或比特来进行换算。例如在四进制:

3221(4) = 11101001(2)

在二进制运算和逻辑的讨论和分析中,八进制和十六进制广泛应用于电脑技术编程范畴,而四进制却并不然。

希尔伯特曲线

然而,四进制数字有用于表示二维希尔伯特曲线:把位于 01 之间的实数转换到四进制系统,指示各自四个子象限的各个个别数字就会给显示出来,并不断循环。

Qua
(四进)
Bin
(二进)
Dec
(十进)
000000
100011
200102
300113
1001004
1101015
1201106
1301117
2010008
2110019
22101010
23101111
30110012
31110113
32111014
33111115

人类语言

在众多甚至所有丘马什语系中原来均使用四进制记数,即数字的读法结构均为 416(而非 10)。而在约1819年,一位西班牙神父也有记录了大至32的Ventureño语数字的存活纪录。[1]

视觉展示

图1:四进制数字可视化排序

使用三种有色圆形(1为蓝色,2为绿色,3为白色,0为)及五档位置即可以可视化形式显示由 01023 的任何数字。下列图表是对图1的解读。

对应表

标准四进制中的数字 0 到 64(0 到 1000)
十进制 0123456789101112131415
二进制 01101110010111011110001001101010111100110111101111
四进制 0123101112132021222330313233
八进制 012345671011121314151617
十六进制 0123456789ABCDEF
十进制 16171819202122232425262728293031
二进制 10000100011001010011101001010110110101111100011001110101101111100111011111011111
四进制 100101102103110111112113120121122123130131132133
八进制 20212223242526273031323334353637
十六进制 101112131415161718191A1B1C1D1E1F
十进制 32333435363738394041424344454647
二进制 100000100001100010100011100100100101100110100111101000101001101010101011101100101101101110101111
四进制 200201202203210211212213220221222223230231232233
八进制 40414243444546475051525354555657
十六进制 202122232425262728292A2B2C2D2E2F
十进制 48495051525354555657585960616263
二进制 110000110001110010110011110100110101110110110111111000111001111010111011111100111101111110111111
四进制 300301302303310311312313320321322323330331332333
八进制 60616263646566677071727374757677
十六进制 303132333435363738393A3B3C3D3E3F

例(四进制→十进制):

分数

由于只有2的因数,许多四进制分数具有重复数字,尽管这些分数往往相当「小」:

十进制基数
Prime factors of the base: 2, 5
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 7 13 17 19 23 29 31
四进制基数
Prime factors of the base: 2
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 13 23 31 101 103 113 131 133
分数 分母 分母 分数
1/2 2 0.5 0.2 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.1111... = 0.1 3 1/3
1/4 2 0.25 0.1 2 1/10
1/5 5 0.2 0.03 11 1/11
1/6 2, 3 0.16 0.02 2, 3 1/12
1/7 7 0.142857 0.021 13 1/13
1/8 2 0.125 0.02 2 1/20
1/9 3 0.1 0.013 3 1/21
1/10 2, 5 0.1 0.012 2, 11 1/22
1/11 11 0.09 0.01131 23 1/23
1/12 2, 3 0.083 0.01 2, 3 1/30
1/13 13 0.076923 0.010323 31 1/31
1/14 2, 7 0.0714285 0.0102 2, 13 1/32
1/15 3, 5 0.06 0.01 3, 11 1/33
1/16 2 0.0625 0.01 2 1/100
1/17 17 0.0588235294117647 0.0033 101 1/101
1/18 2, 3 0.05 0.0032 2, 3 1/102
1/19 19 0.052631578947368421 0.003113211 103 1/103
1/20 2, 5 0.05 0.003 2, 11 1/110
1/21 3, 7 0.047619 0.003 3, 13 1/111
1/22 2, 11 0.045 0.002322 2, 23 1/112
1/23 23 0.0434782608695652173913 0.00230201121 113 1/113
1/24 2, 3 0.0416 0.002 2, 3 1/120
1/25 5 0.04 0.0022033113 11 1/121
1/26 2, 13 0.0384615 0.0021312 2, 31 1/122
1/27 3 0.037 0.002113231 3 1/123
1/28 2, 7 0.03571428 0.0021 2, 13 1/130
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0.00203103313023 131 1/131
1/30 2, 3, 5 0.03 0.002 2, 3, 11 1/132
1/31 31 0.032258064516129 0.00201 133 1/133
1/32 2 0.03125 0.002 2 1/200
1/33 3, 11 0.03 0.00133 3, 23 1/201
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0.00132 2, 101 1/202
1/35 5, 7 0.0285714 0.001311 11, 13 1/203
1/36 2, 3 0.027 0.0013 2, 3 1/210

遗传学

四进制和以脱氧核糖核酸 (DNA) 表示的遗传密码,两者之间的位值记录方式可以相互呼应。四种脱氧核糖核酸核苷酸的简称按字母先后次序排列,分别为A(Adenine;腺嘌呤)、C(Cytosine;胞嘧啶)、G(Guanine;鸟嘌呤)及 T(Thymine;胸腺嘧啶),可用作表示四进制数字,按先后次序排列为 0123。在此编码下,互补数字配对 0↔3 及 1↔2 (二进制为 00↔11 及 01↔10) ,与碱基对的互补配对 A↔T 及 C↔G 吻合。

比方说,核苷酸串行GATTACA可以四进制数字2033010表示(十进制为9156)。

可是亦有争议指,脱氧核糖核酸应以二进制表示,而非四进制,理由是「在核苷酸的配对中,A(Adenine;腺嘌呤)只能与T(Thymine;胸腺嘧啶)配对,而C(Cytosine;胞嘧啶)只能与G(Guanine;鸟嘌呤)配对。C不能与AT和自己配对,A又不能与CG和自己配对。简单来说,核苷酸的配对只存在两种状况,如同在电脑使用的二进制。」。[2]可是,另一方面核苷酸的配搭形式可是A↔T也可是其反转T↔A,可是C↔G也可是其反转G↔C,形成两种配搭状况、四种配搭形式,因此也有观点认为脱氧核糖核酸应以四进制表示,后者才是正确的观点。[2]

数据传输

四进制的线路码也有在数据传输应用到。从电报发明伊始,到当代电话通信的综合业务数字网线路中,一直用上了2B1Q(双二进位对一四进位)编码,在传输信号时以四种电压代表四个不同的一组双比特信号状况(「10」以+450 mV表示;「11」以+150 mV表示;「01」以-150 mV表示;「00」以-450 mV表示)。

参考数据

  1. "Chumashan Numerals",由Madison S. Beeler著作,刊于Native American Mathematics,由Michael P. Closs (1986)编辑,国际标准书号 0-292-75531-7。
  2. . [2009-11-04]. (原始内容存档于2021-04-21). 外部链接存在于|title= (帮助)

延伸阅读

外部链接

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