可测函数

以下将逐条检验 ${\displaystyle \Sigma }$ 是否符合σ代数的定义

(1) ${\displaystyle Y\in \Sigma }$

因为：

${\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle Y\in \Sigma }$。

(2) ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，则 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$

若 ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，因为：

${\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 。

(3)可数个并集仍在 ${\displaystyle \Sigma }$ 中

若 ${\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，那因为：

${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 。

综上所述， ${\displaystyle \Sigma }$ 的确是${\displaystyle Y}$ 的σ代数。${\displaystyle \Box }$

(1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2)

若对所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 都有：

${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

换句话说：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

那根据本节之定理(1)和最小σ代数 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 的定义有：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

换句话说，只要 ${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 就有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，故 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可测函数。${\displaystyle \Box }$

(2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1)

若对所有${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 都有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，换句话说：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

这样的话，的确可以从 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 推出 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 。${\displaystyle \Box }$

根据定理(2)， ${\displaystyle g\circ f}$ 为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可测函数等价于：

「对所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle {(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$」

但因为${\displaystyle g}$ 为 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函数，故：

「对所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})}$」

但 ${\displaystyle f}$ 又为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可测函数，故可以得到 ${\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$ ，所以本定理得证。${\displaystyle \Box }$