满射

函数${\displaystyle g:Y\to X}$称为函数${\displaystyle f:X\to Y}$的右逆，意思是${\displaystyle f(g(y))=y}$对${\displaystyle Y}$的所有元素${\displaystyle y}$成立。简而言之，${\displaystyle g}$的效果，可以${\displaystyle f}$复原。用文本表示，${\displaystyle g}$是${\displaystyle f}$的右逆，意思是先做${\displaystyle g}$后做${\displaystyle f}$的复合${\displaystyle f\circ g}$，等于${\displaystyle Y}$上的恒等函数，即不造成任何变化。此处不要求${\displaystyle g}$是${\displaystyle f}$的真正反函数，因为另一次序的复合${\displaystyle g\circ f}$，不必是${\displaystyle X}$的恒等函数。换言之，${\displaystyle f}$可以「复原」或「抵消」${\displaystyle g}$，但不必被${\displaystyle g}$复原或抵消。

若函数有右逆，则必为满射。但反之，「每个满射皆有右逆」此一命题，等价于选择公理，故在某些集合论中（例如假设决定公理为真的集合论系统），不必为真。

若${\displaystyle f:X\to Y}$为满射，${\displaystyle B}$为${\displaystyle Y}$的子集，则${\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B}$，即从预象${\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)}$，可以找回${\displaystyle B}$。

函数${\displaystyle f:X\to Y}$是满射，当且仅当其为右可消去：[2]给定任何两个有公共定义域和陪域的函数${\displaystyle g,h:Y\to Z}$，若${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$，则有${\displaystyle g=h}$。此性质的敍述用到函数和复合，可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为满态射或满同态。满射与满态射的关系在于，满射就是集合范畴中的满态射。

范畴论中，有右逆的态射必为满态射，但反之则不然。态射${\displaystyle f}$的右逆${\displaystyle g}$也称为${\displaystyle f}$的截面。而有右逆的态射称为分裂满态射，是一类特殊的满态射。

以${\displaystyle X}$为定义域，${\displaystyle Y}$为值域的函数，可以视为两集合之间的左全右唯一的二元关系，因为可将函数与图像等同。此观点下，由${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的满射，是右唯一而既左全又右全的关系。

满射的定义域，必有大于或等于其陪域的基数：若${\displaystyle f:X\to Y}$为满射，则${\displaystyle X}$的元素个数必定至少等于${\displaystyle Y}$的元素个数（在基数意义下）。但此结论的证明，需要假定选择公理，以证明${\displaystyle f}$有右逆，即存在函数${\displaystyle g:Y\to X}$使得${\displaystyle f(g(y))=y}$对${\displaystyle Y}$的任意元素${\displaystyle y}$成立。满足此性质的${\displaystyle g}$必为单射，故由基数大小比较的定义，有${\displaystyle |Y|\leq |X|}$。

特别地，若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$皆是有限，且两者的元素个数相同，则${\displaystyle f:X\to Y}$是满射当且仅当${\displaystyle f}$为单射。

给定两个集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，以${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$表示「或者${\displaystyle X}$为空，或者存在由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的满射」。利用选择公理，可以证明，${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$和${\displaystyle Y\leq ^{*}X}$两者一起，足以推出${\displaystyle |Y|=|X|}$。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。

两个满射的复合仍是满射：若${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$皆为满射，且${\displaystyle g}$的陪域是${\displaystyle f}$的定义域，则${\displaystyle f\circ g}$也是满射。反之，若${\displaystyle f\circ g}$为满，则${\displaystyle f}$是满射，但${\displaystyle g}$不必为满射。与右可消去一节一样，从集合范畴的满射，可以推广到一般范畴的满态射。

任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合：对任意${\displaystyle h:X\to Z}$，都存在满射${\displaystyle f:X\to Y}$和单射${\displaystyle g:Y\to Z}$使得${\displaystyle h=g\circ f}$，取法如下：定义${\displaystyle Y}$为所有原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$的集合，其中${\displaystyle z}$历遍${\displaystyle h}$的值域。该些原像两两互斥，且划分${\displaystyle X}$。于是，${\displaystyle f}$将每个${\displaystyle x}$映到包含${\displaystyle x}$的原像（此为${\displaystyle Y}$的元素），然后${\displaystyle g}$再将${\displaystyle Y}$的每个元素（形如${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$）映到相应的${\displaystyle z}$。则${\displaystyle f}$为满射（因为${\displaystyle Y}$中的元素，是原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$，且非空，故有某个${\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)}$，所以由${\displaystyle f}$的定义有${\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)}$），而根据${\displaystyle g}$的定义，其为单射。

任何函数，若将其陪域限制成值域，则可以视为满射，称为其导出满射。任何满射，若将定义域换成商集，即将函数值相同的参数，折叠成同一个「等价类」，则得到一个双射，其由等价类组成的集合，射去原函数的陪域。以符号表示，每个满射${\displaystyle f:A\to B}$可以分解成先做一个商映射，再做一个双射。考虑以下等价关系：${\displaystyle x\sim y}$当且仅当${\displaystyle f(x)=f(y)}$。以${\displaystyle A/{\sim }}$表示此等价关系下，${\displaystyle A}$的等价类的集合。换言之，${\displaystyle A/{\sim }}$是${\displaystyle f}$所有原像的集合。以${\displaystyle P:A\to A/{\sim }}$表示将${\displaystyle x}$映到等价类${\displaystyle [x]_{\sim }}$的商映射，又设${\displaystyle f_{P}:A/{\sim }\to B}$，定义为${\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x)}$，则${\displaystyle f=f_{P}\circ P}$。由定义知，${\displaystyle P}$是满射，而${\displaystyle f_{P}}$是双射。