双射

一函数${\displaystyle f}$为双射的若且唯若其逆关系${\displaystyle f^{-1}}$也是个函数。在这情况，${\displaystyle f^{-1}}$也会是双射函数。

两个双射函数${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$的复合函数${\displaystyle g\circ f}$亦为双射函数。其反函数为${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$。

一个复合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$为双射的，可知${\displaystyle f}$是单射的且${\displaystyle g}$是满射的，但也仅限于此。

一由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的关系${\displaystyle f}$为双射函数若且唯若存在另一由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的关系${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle g\circ f}$为${\displaystyle X}$上的恒等函数，且${\displaystyle f\circ g}$为${\displaystyle Y}$上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为有限集合，则其存在一两集合的双射函数若且唯若两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是「相同元素个数」的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

• 对任一集合${\displaystyle X}$，其恒等函数为双射函数。
• 函数${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式为${\displaystyle f(x)=2x+1}$，是双射的，因为对任一${\displaystyle y}$，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$使得${\displaystyle f(x)=y}$。
• 指数函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式为${\displaystyle g(x)=e^{x}}$，不是双射的：因为不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$内的${\displaystyle x}$使得${\displaystyle g(x)=-1}$，故${\displaystyle g}$非为双射。但若其陪域改成正实数${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$，则${\displaystyle g}$便是双射的了；其反函数为自然对数函数${\displaystyle \ln }$。
• 函数${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$，其形式为${\displaystyle h(x)=x^{2}}$，不是双射的：因为${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$，故${\displaystyle h}$非为双射。但如果把定义域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$，则${\displaystyle h}$便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$不是双射函数，因为${\displaystyle -1,0}$和${\displaystyle 1}$都在其定义域里且都映射至${\displaystyle 0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$不是双射函数，因为${\displaystyle \pi /3}$和2${\displaystyle \pi /3}$都在其定义域里且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$。

• 一由实数${\displaystyle \mathbb {R} }$至${\displaystyle \mathbb {R} }$的函数${\displaystyle f}$是双射的，若且唯若其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设${\displaystyle X}$为一集合，则由${\displaystyle X}$至其本身的双射函数，加上其复合函数「${\displaystyle \circ }$」的运算，会形成一个群，即为${\displaystyle X}$的对称群，其标记为${\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)}$、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$或${\displaystyle X!}$。
• 取一定义域的子集${\displaystyle A}$及一陪域的子集${\displaystyle B}$，则

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$。

• 若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为具相同势的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$，则下列三种说法是等价的：

1. ${\displaystyle f}$为一双射函数。
2. ${\displaystyle f}$为一满射函数。
3. ${\displaystyle f}$为一单射函数。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如${\displaystyle y=x^{-3}}$）。

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

• 等势
• 单射
• 同构
• 置换
• 对称群
• 满射
• 双射计数法
• 水平线测试

维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于）