区间

在赋予通常序的实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$里，以${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$为端点的开区间和闭区间分别是：

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}$

类似地，以${\displaystyle a,b}$为端点的两个半开区间定义为：

${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}$

在一些上下文中，两个端点要求满足${\displaystyle a<b}$。这排除了${\displaystyle a=b}$从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了${\displaystyle a>b}$从而区间为空集的情形。

只有左端点${\displaystyle a}$的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}$

只有右端点${\displaystyle b}$的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}$

整个实数线等于没有端点的区间：

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$和两个元素${\displaystyle a,b\in X,}$，我们可以类似定义[2]^{:11, Definition 11}

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

其中${\displaystyle x<y}$意思是${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x}$。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

上具有两个端点的区间，使得它是${\displaystyle X}$的子集。当${\displaystyle X=\mathbb {R} }$时，可以取${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$为扩展实数线。

预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$的子集${\displaystyle A\subseteq X}$是序凸集，如果对于任意${\displaystyle x,y\in A}$以及任意${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$有${\displaystyle z\in A}$。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$中，

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}$

是序凸集，但它不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的区间，这是因为2的平方根在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中是不存在的。

设${\displaystyle (X,\lesssim )}$是一个预序集，且${\displaystyle Y\subseteq X}$。包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做${\displaystyle Y}$的序凸分支。[3]^{:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的任意序凸集包含于${\displaystyle Y}$的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。