二元运算

设 ${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元运算，${\displaystyle i\in A}$，则：

• 称 ${\displaystyle i}$ 为 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle \circ }$ 下的左幺元，若 ${\displaystyle i}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,i\circ a=a}$；
• 称${\displaystyle i}$ 为 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle \circ }$ 下的右幺元，若 ${\displaystyle i}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ i=a}$；
• 称 ${\displaystyle i}$ 为 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle \circ }$ 下的幺元，若 ${\displaystyle i}$ 满足：${\displaystyle i}$ 既是 ${\displaystyle A}$ 在二元运算 ${\displaystyle \circ }$ 下的左幺元，又是 ${\displaystyle A}$ 在二元运算 ${\displaystyle \circ }$ 下的右幺元。

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle a,b\in A}$,${\displaystyle i}$是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的幺元。则：

• 称${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$在${\displaystyle \circ }$下的左逆元，若${\displaystyle a,b}$满足：${\displaystyle a\circ b=i}$。
• 称${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$在${\displaystyle \circ }$下的右逆元，若${\displaystyle a,b}$满足：${\displaystyle b\circ a=i}$。
• 称${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$在${\displaystyle \circ }$下的逆元，若${\displaystyle a,b}$满足：a既是${\displaystyle b}$在${\displaystyle \circ }$下的左逆元，又是${\displaystyle b}$在${\displaystyle \circ }$下的右逆元。（显然此时${\displaystyle b}$也是${\displaystyle a}$的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素${\displaystyle a}$的逆元通常记为${\displaystyle a^{-1}}$。

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle z\in A}$，则：

• 称${\displaystyle z}$为${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的左零元，若${\displaystyle z}$满足：${\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z}$；
• 称${\displaystyle z}$为${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的右零元，若${\displaystyle z}$满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z}$；
• 称${\displaystyle z}$为${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零元，若${\displaystyle z}$满足：z既是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的左零元，又是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的右零元。

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle a\in A}$且${\displaystyle a\neq z}$,${\displaystyle z}$是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零元。则：

• 称${\displaystyle a}$是${\displaystyle A}$中在${\displaystyle \circ }$下的左零因子，若${\displaystyle a}$满足：${\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}$，使${\displaystyle a\circ b=z}$。
• 称${\displaystyle a}$是${\displaystyle A}$中在${\displaystyle \circ }$下的右零因子，若${\displaystyle a}$满足：${\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}$，使${\displaystyle b\circ a=z}$。
• 称${\displaystyle a}$为${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零因子，若${\displaystyle a}$满足：a既是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的左零因子，又是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的右零因子。

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$满足交换律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}$；

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$满足结合律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$；

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：

称${\displaystyle \circ }$满足左消去律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b}$

称${\displaystyle \circ }$满足右消去律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c}$

称${\displaystyle \circ }$满足消去律，若${\displaystyle \circ }$同时满足左消去律与右消去律。

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$满足幂等律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a}$；

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，i是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的幺元， 则：称${\displaystyle \circ }$满足幂幺律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i}$（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，z是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零元， 则：称${\displaystyle \circ }$满足幂零律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A}$，有${\displaystyle a\circ a=z}$（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$和${\displaystyle \diamond }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的两个二元运算，则：

• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足左分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c}$；
• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足右分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle (b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a}$；
• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足分配律，若${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足左分配律以及右分配律；