矢量

在线性代数中，矢量常常采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义。矢量是矢量空间中的基本构成元素。

矢量空间是基于物理学或几何学中的空间概念，抽象出其代数性质所形成的一个概念，是一个满足一系列法则的代数结构。矢量空间相伴的纯量未必是实数，可以是复数、有理数等域。欧几里得空间便是线性空间的一种。矢量空间中的元素就可以被称为矢量，而欧几里得矢量则是特指欧几里得空间中的矢量。更一般的矢量空间，例如所有次数不大于3的复系数多项式的集合；所有6×6实对称矩阵的集合；区间[0, 1]上的所有实值连续函数的集合；所有收敛于0的复数数列的集合等。

在物理学和诸多任务程学科中，矢量更多地被称作矢量；矢量可以描述许多常见的物理量，如运动学中的位移、速度、加速度，力学中的力、力矩，电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波等等。

物理学和一般的几何学中涉及的矢量概念严格意义上应当被称为欧几里得矢量或几何矢量。定义具有物理意义上的大小和方向的矢量概念则需要引进了定义了范数和内积的欧几里得空间。按照定义，欧几里得矢量由大小和方向构成。

在一些上下文中，尤其在物理学领域，有些矢量会与起点有关（如一个力与其的作用点有关，质点运动速度与该质点的位置有关），因而假设矢量有确定的起点和终点[2]，当起点和终点改变后，构成的矢量就不再是原来的矢量。这样的矢量也被称为固定矢量。例子之一是运动学中常见的物理量位置矢量。

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$的位置可自由移动

在另一些时候，由于矢量的共性都具有大小和方向，会认为矢量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的矢量，只要大小相等，方向相同，就可以称为是同一个矢量。这样的矢量被称为自由矢量。在数学中，一般只研究自由矢量，并且数学中所指的矢量就是指自由矢量。也就是只要大小以及方向一样，即可视为同一矢量，与矢量的起始点并无关系。一些文献中会提到矢量空间带有一个特定的原点，这时可能会默认矢量的起点是原点。[3]

使用符号的形式实际上只是对矢量规定的一个概念化代号。矢量在包括数学和物理等诸多领域均被广泛采用，优点是简洁明了，缺点是高度形式和抽象，既缺少几何形象性又缺少定量精确性。

一从A指向B的矢量

数学上的矢量通常可用加向右箭头的小写字母表示，如${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$。有时也有用加箭头的大写字母表示数学量，如微积分中的面积元${\displaystyle d{\vec {S}}}$。给定两点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$时，也可确定一固定矢量：如确定一个始于点从${\displaystyle A}$终于点${\displaystyle B}$的矢量，符号表示为：${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

本方法被广泛用于手写。

在表示物理学上的矢量也可用加箭头的小写字母表示，如速度${\displaystyle {\vec {v}}}$，摩擦力${\displaystyle {\vec {f}}}$，动量${\displaystyle {\vec {p}}}$。

物理学还有许多物理量用加箭头的大写字母表示，如电场强度${\displaystyle {\vec {E}}}$，磁场强度${\displaystyle {\vec {H}}}$,力${\displaystyle {\vec {F}}}$。

矢量也可用粗体小写字母表示，如${\displaystyle \mathbf {v} }$，许多书本会采用此种记法，但缺点是区分粗体字有时不容易，例如 ${\displaystyle \!\mathrm {D} }$和 ${\displaystyle \!\mathbf {D} }$肉眼看易混淆。

直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的有向线段。线段的长度表示矢量的大小（或称模长），矢量的方向即箭头所指的方向，可以记为${\displaystyle {\vec {a}}}$。该种表示的优点是具有强烈的几何直观形象性，缺点是在纸面上作图繁琐，不便定量分析。

垂直于纸面的矢量的表示方式

而遇到某些特殊情况（如表示磁场的磁感应强度）需要表示与记载纸面垂直的矢量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（⊙）表示由纸下方指向纸上方的矢量，而圆圈中带叉的记号（⊗）则表示由纸的上方指向纸下方的矢量。由于这种记号不表示矢量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。

在三维笛卡尔坐标系中体现出的矢量

代数表示指在指定了一个坐标系之后，用一个矢量在该坐标系下的坐标来表示该矢量，兼具了符号的抽象性和几何形象性，因而具有最高的实用性，被广泛采用于需要定量分析的情形。 对于自由矢量，将矢量的起点平移到坐标原点后，矢量就可以用一个坐标系下的一个点来表示，该点的坐标值即矢量的终点坐标。

设有一矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，有坐标系${\displaystyle S}$。在${\displaystyle S}$中定义好若干个特殊的基本矢量（称为基矢量，各个基矢量共同组成该坐标系下的基底）${\displaystyle {\vec {e_{1}}}}$，${\displaystyle {\vec {e_{2}}}}$，...，${\displaystyle {\vec {e_{n}}}}$之后，则矢量在各个基方向的投影值即为对应的坐标值，各个投影值组成的有序数组，称为该矢量在坐标系${\displaystyle S}$的坐标，是矢量的唯一表示，即与矢量的终点一一对应。换言之，其它的矢量只需通过将这些基本矢量拉伸后再按照平行四边形法则进行矢量加法即可表示（通常被称为“用基底线性表出一个矢量”，即该矢量是基矢量的某种线性组合），即：

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e_{1}}}+...+a_{n}{\vec {e_{n}}},}$

其中${\displaystyle a_{1}}$, ..., ${\displaystyle a_{n}}$分别为${\displaystyle {\vec {a}}}$在${\displaystyle {\vec {e_{1}}}}$，${\displaystyle {\vec {e_{n}}}}$方向的投影。当基底已知，可直接省略各基矢量的符号，类似于坐标系上的点，直接用坐标表示为：

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$

在矩阵运算中，更常将矢量写成类似于矩阵的列矢量或行矢量。在线性代数中所指的矢量，通常默认为列矢量。如一个矢量${\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)}$，可写成：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\vec {a}}&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix}},\\{\vec {a}}&=&[a\ b\ c].\end{array}}}$

其中，上者为列矢量写法，下者为行矢量写法；此处采中国大陆定义。

值得注意的是：

• ${\displaystyle n}$维列矢量可视作${\displaystyle \mathbf {n} \times 1}$矩阵，${\displaystyle n}$维行矢量可视作${\displaystyle 1\times \mathbf {n} }$矩阵。
• 在中国大陆，横向的元素组称为「」，纵向的称为「」，而在台湾则相反，横向称为「」，纵向称为「」[4]。详见矩阵。

对于由两个点确定的矢量，同样可以用坐标进行表示，详见矢量运算。

在常见的三维空间直角坐标系Oxyz里，基本矢量就是以横轴（Ox）、竖轴（Oy）以及纵轴（Oz）为方向的三个长度为1的单位矢量${\displaystyle {\vec {i}}}$、${\displaystyle {\vec {j}}}$、${\displaystyle {\vec {k}}}$。这三个矢量取好以后，其它的矢量就可以通过三元数组来表示，因为他们可以表示成一定倍数的三个基本矢量的总和。比如说一个标示为（2,1,3）的矢量就是2个矢量${\displaystyle {\vec {i}}}$加上1个矢量${\displaystyle {\vec {j}}}$加上3个矢量${\displaystyle {\vec {k}}}$得到的矢量，即：

${\displaystyle (a,b,c)=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}}$

对于任意矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，不论方向如何，若其大小为单位长度，则称其为${\displaystyle {\vec {a}}}$方向上的单位矢量（）。单位矢量通常被记为${\displaystyle {\vec {u}}}$。

特殊地，三维笛卡尔坐标系上的三个基矢量${\displaystyle {\vec {i}}=(1,0,0)}$，${\displaystyle {\vec {j}}=(0,1,0)}$，${\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,1)}$都是单位矢量。

一个矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$的反矢量（）与它大小相等，但方向相反，一般记作${\displaystyle -{\vec {v}}}$。如果矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$是矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$的反矢量，那么${\displaystyle {\vec {b}}}$也是${\displaystyle {\vec {a}}}$的反矢量[5]。

另外，矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$的反矢量也可按如下定义：

对于给定矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，若∃矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$，使得${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}}$成立，则矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$称为矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$的反矢量。

始点与终点重合，即大小为0的矢量，被称为零矢量（），记以数字0上加箭头，即${\displaystyle {\vec {0}}}$。有时亦可以用粗体的0表示，如${\displaystyle \mathbf {0} }$。在坐标表示下，不论含有多少分量，不论指向任何方向，若所有的分量均为0的矢量即为零矢量。关于零矢量有两点值得一提：

1. 零矢量依旧具有方向性，但方向不定。[5]。因此，零矢量与任一矢量平行。[6]
2. 零矢量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象，即${\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}$。

零矢量可以如下进行形式化定义：

给定一n 维矢量${\displaystyle {\vec {z}}}$，若对于任意的同维矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，总有${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {z}}={\vec {a}}}$成立，则矢量${\displaystyle {\vec {z}}}$称为n 维零矢量，通常被记作${\displaystyle {\vec {0}}}$或${\displaystyle \mathbf {0} }$。

不论起点终点，两矢量长度、方向相等，即为等矢量或相等矢量（）。

对于任意矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，若其一个相等矢量为${\displaystyle {\vec {b}}}$，则对${\displaystyle {\vec {b}}}$和数字-1进行数乘运算后得到的矢量${\displaystyle -{\vec {b}}}$即${\displaystyle {\vec {a}}}$的反矢量。

另外，类似于反矢量的定义，矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$等矢量也可按如下定义：

对于给定矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，若存在矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$，使得${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {0}}}$成立，则矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$称为矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$的相等矢量。

方向矢量（）的形式化定义如下：

对于任意矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$，若存在一个矢量${\displaystyle {\vec {b}}}$，两者的方向相同（大小可以不同），则${\displaystyle {\vec {b}}}$是${\displaystyle {\vec {a}}}$的一个方向矢量。

一般地，所有方向相同的矢量之间互为方向矢量。

一个以点A为起点，B为终点的有向线段。

有向线段的概念建构于矢量的方向与长度，差别在于多定义了始点与终点。在文本描述时，如果已知某有向线段的起点和终点分别是A和B，此线段的长度可以记为${\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|}$，即${\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|={\overline {AB}}}$。

矢量的大小（）也称模长、长度。几何上，当确定了单位长度后作图所得的矢量的长度，即为矢量的大小，记作${\displaystyle \left|{\vec {v}}\right|}$。在有限维赋范线性空间中，矢量的模长也称为范数（），记作${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}$。已知矢量的坐标，就可以知道它的模长。

设矢量${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$，其范数的计算表达式由弗罗贝尼乌斯范数（一种同时适用于矢量和矩阵的范数计算方法）给出： ${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$[7]。

特殊地，对于n 维欧几里得空间 Rⁿ上的矢量${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$，其模长或范数为： ${\displaystyle \left|{\vec {v}}\right|=\left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$。

更特殊地，对于三维笛卡尔坐标系下的矢量${\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}$，其模长为： ${\displaystyle \left\|{\vec {a}}\right\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$。

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$与${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$具有夹角${\displaystyle \theta }$

矢量的夹角（）是对于两个矢量而言的概念。对于任意两个给定的矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角${\displaystyle \theta }$。由于夹角具有互补性，因此在不同的出发规定、不同的旋转方向下，所得夹角亦不同。

矢量的夹角可由数量积的定义导出计算公式，即：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|}}}$

对于${\displaystyle m}$个矢量${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$，${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$，…，${\displaystyle {\vec {v}}_{m}}$，如果存在一组不全为零的${\displaystyle m}$个数${\displaystyle a_{1}}$、${\displaystyle a_{2}}$、…、${\displaystyle a_{m}}$，使得${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{a_{i}{\vec {v}}_{i}}={\vec {0}}}$，那么，称${\displaystyle m}$个矢量${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$，${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$，…，${\displaystyle {\vec {v}}_{m}}$ 或（）。

如果这样不全为零的${\displaystyle m}$个数不存在，即上述矢量等式仅当${\displaystyle a_{1}}$ =${\displaystyle a_{2}}$ = … = ${\displaystyle a_{m}}$ = 0时才能成立，就称矢量${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$，${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$，…，${\displaystyle {\vec {v}}_{m}}$ 或（）。[8]

矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$相加，得到的是另一个矢量。这个矢量可以表示为${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将${\displaystyle {\vec {a}}}$的终点和${\displaystyle {\vec {b}}}$的起点重合后，从${\displaystyle {\vec {a}}}$的起点指向${\displaystyle {\vec {b}}}$的终点的矢量：

矢量 a 加矢量 b

两个矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$的相减，则可以看成是矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$加上一个与${\displaystyle {\vec {b}}}$大小相等，方向相反的矢量。又或者，${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$的相减得到的矢量可以表示为${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$的起点重合后，从${\displaystyle {\vec {b}}}$的终点指向${\displaystyle {\vec {a}}}$的终点的矢量：

矢量 a 减矢量 b

当这两个矢量数值、方向都不同，基本矢量${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0),{\vec {e}}_{2}=(0,1,0),{\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}$时，矢量和计算为

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}+(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}+(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}}$

并且有如下的不等关系：

${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|}$

此外，矢量的加法也满足交换律和结合律。[5]

矢量空间分为有限维矢量空间与无限维矢量空间。在有限维矢量空间中，可以找到一组（有限个）矢量${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\cdots ,{\vec {e}}_{n}}$，使得任意一个矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$都可以唯一地表示成这组矢量的线性组合：

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}}$

其中的标量${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}}$是随着矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$而确定的。这样的一组矢量称为矢量空间的基。给定了矢量空间以及一组基后，每个矢量就可以用一个数组来表示了[10]。两个矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$和${\displaystyle {\vec {w}}}$相同，当且仅当表示它们的数组一样。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v_{1}&=&w_{1}\\v_{2}&=&w_{2}\\\vdots \ &&\vdots \\v_{n}&=&w_{n}\end{array}}}$

两个矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$和 ${\displaystyle {\vec {w}}}$的和：

${\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {e}}_{1}+(v_{2}+w_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(v_{n}+w_{n}){\vec {e}}_{n}}$

它们的数量积为：

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=v_{1}\cdot w_{1}+v_{2}\cdot w_{2}+\cdots +v_{n}\cdot w_{n}}$[7]

而标量k与矢量v的乘积则为：

${\displaystyle k\cdot {\vec {v}}=(k\cdot v_{1}){\vec {e}}_{1}+(k\cdot v_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(k\cdot v_{n}){\vec {e}}_{n}}$[7]

一个标量k和一个矢量${\displaystyle {\vec {v}}}$之间可以做乘法，得出的结果是另一个与${\displaystyle {\vec {v}}}$方向相同或相反，大小为${\displaystyle {\vec {v}}}$的大小之｜k｜倍的矢量，可以记成${\displaystyle k{\vec {v}}}$ [5]。该种运算被称为或数乘。-1乘以任意矢量会得到它的反矢量，0乘以任何矢量都会得到零矢量 ${\displaystyle {\vec {0}}}$。

数量积也叫点积，它是矢量与矢量的乘积，其结果为一个纯量（非矢量）。几何上，可以定义如下：

设 ${\displaystyle {\vec {a}}}$、${\displaystyle {\vec {b}}}$ 为两个任意矢量，它们的夹角为 ${\displaystyle \theta }$，则他们的为：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }}$[7]

即 ${\displaystyle {\vec {b}}}$ 矢量在 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ 矢量方向上的投影长度（同方向为正反方向为负号），与 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ 矢量长度的乘积。 被广泛应用于物理中，如做功就是用力的矢量乘位移的矢量，即 ${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$。

矢量积也叫叉积，外积，它也是矢量与矢量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个矢量。它的几何意义是所得的矢量与被乘矢量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘矢量张成的平行四边形的面积。所以矢量积不满足交换律。举例来说 ${\displaystyle (1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)}$ 但是 ${\displaystyle (0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)}$。

设有矢量${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}$、${\displaystyle {\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}}$，

则其矢量积的矩阵表达式可用下列符号表示：

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

三个矢量${\displaystyle {\vec {a}}}$、${\displaystyle {\vec {b}}}$和${\displaystyle {\vec {c}}}$的混合积定义为，物理意义为三矢量始于同点时所构成的体积：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

在实际应用中，矢量运算时常会运用到定比分点定理。

平面直角坐标系Oxy

设平面直角坐标系${\displaystyle Oxy}$原点${\displaystyle O(0,0)}$，内有点${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$，点${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$，点${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$，点${\displaystyle P}$在点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$之间，且

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$，则：

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}\right)}$

特殊地，当${\displaystyle n=1}$，

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$

相应的有中点${\displaystyle P}$坐标： ${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$

实际上，上述结论可以推广到空间矢量中。
设空间直角坐标系${\displaystyle Oxyz}$内原点为${\displaystyle O(0,0,0)}$，有点${\displaystyle A(x_{1},y_{1},z_{1})}$，${\displaystyle B(x_{2},y_{2},z_{2})}$，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$点间有一点${\displaystyle P}$，且

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$，

则：${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}},{\frac {z_{1}+nz_{2}}{1+n}}\right)}$

中点${\displaystyle P}$坐标：

${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}$

设平面直角坐标系${\displaystyle Oxy}$内原点${\displaystyle O(0,0)}$，有点${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$，点${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$，点${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$，点${\displaystyle P}$在点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$之间，且${\displaystyle \left|AP\right|:\left|PB\right|=n}$，则：

${\displaystyle {\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{0}}}=n\Rightarrow x_{0}={\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}}}$，
${\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{y_{2}-y_{0}}}=n\Rightarrow y_{0}={\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}}$