磁矩

假设一个平面载流循环的面积矢量为${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$、所载电流为${\displaystyle I\,\!}$，则其磁偶极矩为${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$。

对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是循环所载有的恒定电流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是平面循环的面积矢量。

面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向，也是磁偶极矩的方向。

这有限面积的载流循环还有更高端的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不变，则所有更高端的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。

对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流${\displaystyle I\,\!}$，则其磁偶极矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$是积分曲面，${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$是${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$边缘的闭合回路，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$是微小面积元素，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$是微小线元素，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$的位置。

引用矢量恒等式

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$，

即可得到磁偶极矩的路径积分方程序

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$。

对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$是积分体积，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是源电流位置，${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$是电流密度，${\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}$是微小体积元素。

任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程序计算出其磁偶极矩。

在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为${\displaystyle \mu \,\!}$，通常测量单位为波耳磁子或核磁子（）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：

欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。

处于均匀磁场的一个方形载流循环。

如图右，假设载有电流${\displaystyle I\,\!}$的一个方形循环处于外磁场${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。方形循环四个边的边长为${\displaystyle w\,\!}$，其中两个与${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为${\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}$。

垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$。

另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}$。所以，这循环感受到的磁力矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}$。

令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程序表示。

当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。

将载流循环从角弧${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$扭转到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，磁场所做的机械功${\displaystyle W\,\!}$为

${\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}$。

注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而${\displaystyle \theta \,\!}$是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设置${\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}$，则

${\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧${\displaystyle \pi /2\,\!}$扭转到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，所做的机械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$为

${\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

定义载流循环的势能${\displaystyle U\,\!}$等于这机械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$，以方程序表示为

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程序表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值${\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}$；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$。

假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路${\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}$的磁场力等于零：

${\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}$。

假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同[6]。采用常见的「电流模型」，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为

${\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}$。

另外一种采用「磁荷模型」。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为

${\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}$。

两者之间的差别为

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}$。

假设，电流等于零，电场不含时间，则根据马克士威-安培方程序，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}$，

两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[6]。

一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径${\displaystyle r'\,\!}$为0.05公尺的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：

${\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}$。

磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来创建以下几点论据：

• 假设场位置的距离${\displaystyle r\,\!}$超远于循环半径${\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}$，则磁场会呈反立方减弱：

沿着循环的中心轴，磁矩与场位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$平行：

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

在包含循环的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置：

${\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。

• 假设在地球的某地方，地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$的数值大约为0.5 高斯（5×10⁻⁵ 特斯拉），而且循环磁矩垂直于地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，则此循环所感受到的力矩为

${\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}$。

• 应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，旋转至磁针的磁矩与地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$呈相同方向，则这罗盘-地球系统释放出的能量${\displaystyle U\,\!}$为

${\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}$ 。

由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。

螺线管三维电脑绘图。

一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和保存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。

假设螺线管的匝数为${\displaystyle N\,\!}$，每一匝线圈面积为${\displaystyle a\,\!}$，通过电流为${\displaystyle I\,\!}$，则其磁矩为

${\displaystyle \mu =NIa\,\!}$。

假设，一个点电荷${\displaystyle q\,\!}$以等速${\displaystyle v\,\!}$绕着z-轴，移动于半径为${\displaystyle r\,\!}$的平面圆形路径，则其电流为[7]

${\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}$。

其磁矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其角动量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$为

${\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是载电粒子的质量。

所以，磁矩与角动量的经典关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}$。

对于电子，这经典关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}$；

其中，${\displaystyle m_{e}\,\!}$是电子的质量，${\displaystyle e\,\!}$是电子的绝对电量。

假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是电常数。

现在施加外磁场${\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$于此氢原子，则会有额外的劳仑兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为${\displaystyle v_{B}\,\!}$，则

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}$。

所以，

${\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}$。

假设，两个速度的差别${\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}$超小，则

${\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}$。

所以，由于施加外磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$，磁矩的变化为

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

注意到${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$与${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。

为了简略计算，使用半经典方法[8]，可以求出磁矩的变化为

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}$是半径平方的期望值。

电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。

电子的磁矩是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{e}\,\!}$是电子的朗德g因子，${\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}$是波耳磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$是电子的自旋角动量。

按照前面计算的经典结果，${\displaystyle g_{e}=1\,\!}$；但是，在狄拉克力学里，${\displaystyle g_{e}=2\,\!}$；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些，${\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}$。

请注意，由于这方程序内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。

在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩${\displaystyle \mu \,\!}$与总角动量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$的关系为[9]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{J}\,\!}$是原子独特的朗德g因子。

磁矩对于磁场方向的分量${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是

${\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}$是总角动量对于磁场方向的分量，${\displaystyle J_{m}\,\!}$是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。

因为电子带有负电荷，所以${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是负值。

处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依着磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程序表达为

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma \,\!}$是回转磁比率（） ，${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$是磁场。

注意到这方程序的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}$是有效磁场（外磁场加上任何自身场），${\displaystyle \lambda \,\!}$是阻尼系数。

这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程序（）[10]：

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$。

方程序右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程序是研究磁化动力学最基本的方程序之一。

核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。

虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。

任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：

• 假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献）
• 电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献）
• 依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。

• 氧分子，O₂，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。
• 二氧化碳分子，CO₂，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像¹³C或¹⁷O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
• 氢分子，H₂，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。