S波

P波阴影区。S波不会穿过外核，因此在远离震中超过104°的全部区域S波都处在阴影区中（来源：USGS）

S波预测来自于1800年代的理论，最初来自于各向同性固体的应力－应变关系：

${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}\ }$

其中${\displaystyle \tau }$是应力，${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$是拉梅参数（${\displaystyle \mu }$是剪切模量），${\displaystyle \delta _{ij}}$是克罗内克函数，而应变张量定义为

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$

其中u是应变位移。将后式代入前式得到

${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$

这种情况下的牛顿第二定律给出了地震波传播的运动齐次方程：

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}$

其中${\displaystyle \rho }$是质量密度。代入上面的应力张量得到：

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}.}$

利用矢量恒等式并取一定的近似可得到均匀介质中的地震波方程：

${\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}$

其中牛顿标记用于表示时间导数。取方程的旋度并利用矢量恒等式最终得到：

${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})}{\partial t^{2}}}=0}$

这一方程是一个只包含了u的旋度和速度${\displaystyle \beta }$的波动方程，其中${\displaystyle \beta }$满足

${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}\ }$

这一公式描述了S波的传播。若用均匀介质中的地震波方程的散度代替旋度，则会得到描述P波传播的方程。

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