RLC电路

图中显示了串联RLC电路的欠阻尼和过阻尼响应。临界阻尼是用粗红色曲线画出的。这些作图统一都是在 L = 1, C = 1 且 ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{0}=1\,}$ 情况下。

根据不同的阻尼系数${\displaystyle \zeta }$的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为：欠阻尼（${\displaystyle \scriptstyle \zeta <1\,}$），过阻尼（${\displaystyle \scriptstyle \zeta >1\,}$），以及临界阻尼（${\displaystyle \scriptstyle \zeta =1\,}$）。该微分方程的特征方程为：

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}=0}$

该方程的根为：

${\displaystyle s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}}$

${\displaystyle s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}}$

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加：

${\displaystyle i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}}$

系数A₁以及 A₂由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应（${\displaystyle \scriptstyle \zeta >1\,}$）为：[3]

${\displaystyle i(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}+A_{2}e^{-\omega _{0}(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}}$

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。[4]

欠阻尼响应（${\displaystyle \scriptstyle \zeta <1\,}$）为：[5]

${\displaystyle i(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t)\,}$

通过三角恒等式，这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达：[6]

${\displaystyle i(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t+\varphi )\,}$

欠阻尼响应是一个频率为${\displaystyle \omega _{d}\,}$的衰减的振荡。振荡衰减的速率为${\displaystyle \alpha }$。指数里的${\displaystyle \alpha }$描述了振荡的包络函数。B₁ 以及B₂ （或第二种形式中的 B₃ 以及相位差 ${\displaystyle \varphi \,}$）为任意常数，由边界条件确定。频率${\displaystyle \omega _{d}\,}$由下式给出：[5]

${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {{\omega _{0}}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率${\displaystyle \omega _{0}\,}$是电路在有外部源驱动时的谐振频率，为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。[7]

临界阻尼响应（${\displaystyle \scriptstyle \zeta =1\,}$）为：[8]

${\displaystyle i(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\,}$

可以利用拉普拉斯转换分析RLC串联电路的交流暂态及稳态行为[9]。若上述电压源产生的波形，在拉普拉斯转换后为V(s)（其中s为复频率${\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}$），则在拉普拉斯域中应用基尔霍夫电压定律：

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)}$

其中I(s)为拉普拉斯转换后的电流，求解I(s)：

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)}$

在刷新后，可以得到下式：

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)}$

求解拉普拉斯导纳Y(s)：

${\displaystyle Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}}$

可以利用以上章节定义的参数α及ω_o来简化上式，可得：

${\displaystyle Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}\right)}}}$

Y(s) 的零点是使得${\displaystyle Y(s)=0}$ 的s：

${\displaystyle s=0\,}$     及     ${\displaystyle |s|\rightarrow \infty }$

Y(s) 的极点是使得${\displaystyle Y(s)\rightarrow \infty }$ 的s，求解二次方程，可得：

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}}$

Y(s)的极点即为前文中提到微分方程之特征方程的根${\displaystyle s_{1}}$及${\displaystyle s_{2}}$。

正弦稳态可通过令 ${\displaystyle s=j\omega }$ 的相量形式来表示，其中 ${\displaystyle j}$ 为虚数单位。

将此代入上面方程的幅值中：

${\displaystyle \displaystyle |Y(s=j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}}.}$

以 ω 为变量的电流的函数为

${\displaystyle \displaystyle |I(j\omega )|=|Y(j\omega )||V(j\omega )|.\,}$

有一个峰值${\displaystyle |I(j\omega )|}$。在此特殊情况下，这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率：[10]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

图 6. 正弦稳态分析

以R = 1 欧姆、C = 1 法拉、L = 1 亨利、V = 1.0 伏特来进行范式

将并联各组件的导纳相加，即为此电路的导纳：

${\displaystyle {1 \over Z}=}$  ${\displaystyle {1 \over Z_{L}}+{1 \over Z_{C}}+{1 \over Z_{R}}=}$  ${\displaystyle {1 \over {j\omega L}}+{j\omega C}+{1 \over R}}$

电容、电阻及电感并联后，在共振频率的阻抗为最大值，和电容、电阻及电感串联的情形恰好相反，RLC并联电路是抗共振电路（antiresonator）。

右图中可以看出若用定电压驱动时，电流的频率响应在共振频率${\displaystyle \omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}}$处有最小值。若用定电流驱动，电压的频率响应在共振频率处有最大值，和RLC串联电路中，电流的频率响应图形类似。