电感

流动于闭合回路的含时电流所产生的含时磁通量，会促使闭合回路本身出现感应电动势。

如右图所示，流动于闭合回路的含时电流${\displaystyle i(t)}$所产生的含时磁通量${\displaystyle \Phi (i)}$，根据法拉第电磁感应定律，会促使闭合回路本身出现感应电动势${\displaystyle {\mathcal {E}}}$：

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} t}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} i}\ {\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}$；

其中，${\displaystyle N}$是闭合回路的卷绕匝数。

设置电感${\displaystyle L}$为

${\displaystyle L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}}$。

则感应电动势与含时电流之间的关系为

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}$。

由此可知，一个典型的电感组件中，在其几何与物理特性都固定的状况下，产生的电压${\displaystyle v}$为：

${\displaystyle v=L{{\mathrm {d} i} \over \mathrm {d} t}}$。

电感的作用是抵抗电流的变化，但是这种作用与电阻阻碍电流的流动是有区别的。电阻阻碍电流的流动的特征是消耗电能，而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加；当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能，当电流增加时它会将能量以磁场的形式暂时储存起来，等到电流减小时它又会将磁场的能量释放出来，其效应就是抵抗电流的变化。

图上方，闭合回路1的含时电流${\displaystyle i_{1}(t)}$所产生的含时磁通量，会促使闭合回路2出现感应电动势${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$。图下方，闭合回路2的含时电流${\displaystyle i_{2}(t)}$所产生的含时磁通量，会促使闭合回路1出现感应电动势${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}$。

如右图所示，流动于闭合回路1的含时电流${\displaystyle i_{1}(t)}$，会产生磁通量${\displaystyle \Phi _{2}(t)}$穿过闭合回路2，促使闭合回路2出现感应电动势${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$。穿过闭合回路2的磁通量和流动于闭合回路1的含时电流，有线性关系，称为互感${\displaystyle M_{21}}$，以方程序表达为。

${\displaystyle \Phi _{2}=M_{21}i_{1}}$。

计算互感，可使用纽曼公式（)：

• ${\displaystyle M_{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常数，${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$是闭合回路1，${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$是闭合回路2，${\displaystyle \mathbf {X} _{1}}$是微小线元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$的位置，${\displaystyle \mathbf {X} _{2}}$是微小线元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$的位置。

由此公式可见，两个线圈之间互感相同：${\displaystyle M_{12}=M_{21}}$，且互感是由两个线圈的形状、尺寸和相对位置而确定。

穿过闭合回路2的磁通量${\displaystyle \Phi _{2}(t)}$为

${\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}\mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$是边缘为${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$的任意曲面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}$是微小面元素。

改用磁矢量势${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$计算：

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)=\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}$；

其中，${\displaystyle \nabla _{2}}$是对于变矢量${\displaystyle \mathbf {X} _{2}}$的偏微分。

应用斯托克斯公式，可以得到

${\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}[\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)]\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}=\oint _{\mathbb {C} _{2}}\mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$。

磁矢量势${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}$的定义式为

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

磁通量与流动于闭合回路1 ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$的电流${\displaystyle i_{1}}$的关系式为

${\displaystyle \Phi _{2}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

所以，互感为

${\displaystyle M_{21}={\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} i_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

这方程序称为纽曼公式（）。注意到对换闭合回路${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$与${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$不会改变结果，${\displaystyle M_{21}=M_{12}}$，因此，可以以变量${\displaystyle M}$统一代表。

类似地，穿过闭合回路1的磁通量${\displaystyle \Phi _{1}(t)}$为

${\displaystyle \Phi _{1}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} '_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'_{1}}{|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} '_{1}|}}}$。

除去所有下标，令${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {C} '}$代表同一闭合回路，自感以方程序表示为

${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} }\oint _{\mathbb {C} '}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}{|\mathbf {X} -\mathbf {X} '|}}}$。

当${\displaystyle \mathbf {X} _{1}=\mathbf {X} '_{1}}$时，这积分可能会发散，需要特别加以处理。另外，若假设闭合回路为无穷细小，则在闭合回路附近，磁场会变得无穷大，磁通量也会变得无穷大，所以，必须给予闭合回路有限尺寸，设置其截面半径${\displaystyle r_{0}}$超小于径长${\displaystyle \ell _{0}}$，

有很多种方法可以化解这困难。例如，令${\displaystyle \mathbb {C} }$为闭合回路的中心曲轴，令${\displaystyle \mathbb {C} '}$为闭合回路的表面，则${\displaystyle \mathbf {X} _{1}\neq \mathbf {X} '_{1}}$，这积分就不会发散了[4]。

耦合系数为描述电感之间互感量与自感量的相对大小，两电感器的耦合系数定义为

${\displaystyle k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$；

其中${\displaystyle k}$为耦合系数，无单位；${\displaystyle M}$为两电感的互感值，${\displaystyle L_{1},L_{2}}$分别为两电感器的自感值。

将前面论述加以推广，思考${\displaystyle K}$条闭合回路，设置第${\displaystyle k}$条闭合回路的卷绕匝数为${\displaystyle N_{k}}$，载有电流${\displaystyle i_{k}}$，则其磁链${\displaystyle N_{k}\Phi _{k}}$为

${\displaystyle N_{k}\Phi _{k}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}}$；

其中，${\displaystyle \Phi _{k}}$是穿过第${\displaystyle k}$条闭合回路的磁通量，${\displaystyle L_{k,k}=L_{k}}$是自感，${\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\neq n}$是互感。

由于第${\displaystyle n}$条闭合回路对于磁通量${\displaystyle \Phi _{k}}$的总贡献是卷绕匝数乘以电流，即${\displaystyle N_{n}i_{n}}$，所以，${\displaystyle L_{k,n}}$与乘积${\displaystyle N_{k}N_{n}}$成正比。

从法拉第电磁感应定律，可以得到

${\displaystyle v_{k}=-{\mathcal {E}}_{k}=N_{k}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{n=1,\ n\neq k}^{K}M_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}}$；

其中，${\displaystyle v_{k}}$是第${\displaystyle k}$条闭合回路的感应电压。

第${\displaystyle k}$条闭合回路的电功率${\displaystyle p_{k}}$为

${\displaystyle p_{k}=i_{k}v_{k}}$。

假设原先所有电流为零，即${\displaystyle i_{1}=i_{2}=\dots =i_{K}=0}$ , 保存于所有闭合回路的总磁能为${\displaystyle 0}$。现在，将第一条闭合回路的电流${\displaystyle i_{1}}$平滑地从${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_{1}}$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则保存于第一条闭合回路的磁能${\displaystyle W_{1}}$为

${\displaystyle W_{1}=\int i_{1}v_{1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{1}}i_{1}L_{1}\mathrm {d} i_{1}={\frac {1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}}$。

然后，将第二条闭合回路的电流${\displaystyle i_{2}}$平滑地从${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_{2}}$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则保存于第二条闭合回路的磁能${\displaystyle W_{2}}$为

${\displaystyle W_{2}=\int i_{2}v_{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{2}}i_{2}L_{2}\mathrm {d} i_{2}+\int _{0}^{I_{2}}I_{1}M_{1,2}\mathrm {d} i_{2}={\frac {1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{1,2}I_{1}I_{2}}$。

案照这方法继续地计算，保存于第${\displaystyle k}$条闭合回路的磁能${\displaystyle W_{k}}$为

${\displaystyle W_{k}=\int i_{k}v_{k}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{k}}i_{k}L_{k}\mathrm {d} i_{k}+\sum _{n=1}^{k-1}\int _{0}^{I_{k}}I_{n}M_{n,k}\mathrm {d} i_{k}={\frac {1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}}$。

所以，当每一个闭合回路的电流都平滑地增加到其最终电流之后，保存于所有闭合回路的总磁能${\displaystyle W}$为[5]

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1,n\neq k}^{K}M_{n,k}I_{n}I_{k}}$。

假设将${\displaystyle I_{n}}$与${\displaystyle I_{k}}$的数值交换，总磁能${\displaystyle W}$不会改变。满足可积分条件${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}}$，必需要求${\displaystyle L_{k,n}=L_{n,k}}$成立。所以，电感矩阵${\displaystyle L_{k,n}}$是个对称矩阵。

从物理角度来看，上述增加电流方法并不是唯一方法，还有其它很多种增加电流方法。由于能量守恒，没有任何耗散能量。所以，不论选择哪一种方法，只要每一条闭合回路的电流增加到其最终电流，则保存的总磁能都相等。

如右图所示，${\displaystyle n}$个电感器串联的等效电感${\displaystyle L_{eq}}$为

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}$。

将${\displaystyle n}$个电感器串联在一起，并在这个串联电路的两端加上电源。按照电感的定义，第${\displaystyle k}$个电感器两端的电压${\displaystyle v_{k}}$等于其电感${\displaystyle L_{k}}$乘以通过的电流的变率${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}}$：

${\displaystyle v_{k}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}}$；

按照克希荷夫电流定律，从电源（直流电或交流电）给出的电流${\displaystyle i}$等于通过每一个电感器的电流${\displaystyle i_{k}}$。所以，

${\displaystyle i=i_{1}=i_{2}=\cdots =i_{n}}$；

根据克希荷夫电压定律，电源两端的电压等于所有电感器两端的电压的代数和：

${\displaystyle v=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}=L_{1}{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}+\cdots +L_{n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=(L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，${\displaystyle n}$个电感器串联的等效电感${\displaystyle L_{eq}}$为

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}$。

由于电感器产生的磁场会与其邻近电感器的缠绕线圈发生耦合，很难避免紧邻的电感器彼此互相影响。物理量互感${\displaystyle M}$能够给出对于这影响的衡量。

例如，由电感分别为${\displaystyle L_{1}}$、${\displaystyle L_{2}}$，互感为${\displaystyle M}$的两个电感器构成的串联电路，其等效互感${\displaystyle L_{eq}}$有两种可能：

• 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相同，则称为「串联互助」，其等效电感

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}$。

• 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相反，则称为「串联互消」，其等效电感

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}-2M}$。

对于具有三个或三个以上电感器的串联电路，必需考虑到每个电感器自己本身的自感和电感器与电感器之间的互感，这会使得计算更加复杂。等效电感是所有自感与互感的代数和。 例如，由三个电感器构成的串联电路，会涉及三个自感和六个互感。三个电感器的自感分别为${\displaystyle M_{11}}$、${\displaystyle M_{22}}$、${\displaystyle M_{33}}$；互感分别为${\displaystyle M_{12}}$、${\displaystyle M_{13}}$、${\displaystyle M_{23}}$、${\displaystyle M_{21}}$、${\displaystyle M_{31}}$、${\displaystyle M_{32}}$。等效电感为

${\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+(M_{12}+M_{13}+M_{23})+(M_{21}+M_{31}+M_{32})}$。

由于任意两个电感器彼此之间的互感相等，${\displaystyle M_{ij}}$ = ${\displaystyle M_{ji}}$，后面两组互感可以合并：

${\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+2(M_{12}+M_{13}+M_{23})}$。

串联互助电路图。

串联互消电路图。

如右图所示，两个电感器串联互助在一起。将电源连接于这串联电路的两端。应用克希荷夫电压定律，按照点规定，可以得到

${\displaystyle -v+L_{1}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}=0}$；

其中，${\displaystyle v}$是电源两端的电压，${\displaystyle i}$是电流。

电压${\displaystyle v}$和电流${\displaystyle i}$之间的关系为

${\displaystyle v=(L_{1}+L_{2}+2M){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，两个电感器串联互助的等效电感为

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}$。

以类似的作法，也能得到两个电感器串联互消的等效电感。

如右图所示，${\displaystyle n}$个电感器并联在一起，类似前面所述方法，可以计算出其等效电感${\displaystyle L_{eq}}$为

${\displaystyle {\frac {1}{L_{eq}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{L_{n}}}}$。

由于电感器产生的磁场会与其邻近电感器的缠绕线圈发生耦合，很难避免紧邻的电感器彼此互相影响。物理量互感${\displaystyle M}$能够给出对于这影响的衡量。上述方程序描述${\displaystyle n}$个电感器无互感并联的理想案例。

由电感分别为${\displaystyle L_{1}}$、${\displaystyle L_{2}}$，互感为${\displaystyle M}$的两个电感器构成的并联电路，其等效互感${\displaystyle L_{eq}}$为[6]：

• 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相同，则称为「并联互助」，其等效电感

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}$。

• 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相反，则称为「并联互消」，其等效电感

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}+2M}}}$。

对于具有三个或三个以上电感器的并联电路，必需考虑到每个电感器自己本身的自感和电感器与电感器之间的互感，这会使得计算更加复杂。

并联互助电路图。

并联互消电路图。

如右图所示，两个电感器并联互助在一起。将电源连接于这并联电路的两端。应用克希荷夫电压定律，按照点规定，可以得到

${\displaystyle -v+L_{1}{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}=0}$；

${\displaystyle -v+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}=0}$；

其中，${\displaystyle v}$是电源两端的电压，${\displaystyle i_{1}}$和${\displaystyle i_{2}}$分别是通过两个支路的电流。

利用二元一次联立方程组的克拉玛公式，可得

${\displaystyle {\frac {di_{1}}{dt}}={\frac {v(L_{2}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

${\displaystyle {\frac {di_{2}}{dt}}={\frac {v(L_{1}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

根据克希荷夫电流定律，${\displaystyle i=i_{1}+i_{2}}$，因此

${\displaystyle {\frac {di}{dt}}={\frac {di_{1}}{dt}}+{\frac {di_{2}}{dt}}={\frac {v(L_{1}+L_{2}-2M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

可得电压${\displaystyle v}$和电流${\displaystyle i}$之间的关系为

${\displaystyle v={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，两个电感器并联互助的等效电感为

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}$。

以类似的作法，也能得到两个电感器并联互消的等效电感。