RL电路

复数函数示性函数（）对所有线性时不变系统（）有以下的形式：

${\displaystyle V(t)\ =\ \mathbf {A} e^{st}\ =\ \mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\ }$，若令${\displaystyle \mathbf {A} \ =\ Ae^{j\phi }}$，则可重写为${\displaystyle \ =\ Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}}$，合并复数指数后得到${\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}$

通过复数的欧拉公式，示性函数的实部为指数衰减的正弦值：

${\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}$

正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此[3]：

${\displaystyle \sigma \ =\ 0}$

且s的值变为：

${\displaystyle s\ =\ j\omega }$

由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+Ls}}}$.

电感元件的传递函数为：

${\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}$

类似的，电阻器的传递函数为：

${\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}$

两个传输函数都有一个极点位于：

${\displaystyle s=-{R \over L}}$

另外，电感元件在原点处有一个零点。

通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

${\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

且

${\displaystyle G_{R}=|H_{R}(s)|=\left|{\frac {V_{R}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$,

相位为：

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

且

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}$.

通常用相量代替上面的式子来表达输出[2]：

${\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}$

${\displaystyle V_{R}=G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}$.

每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。

电感元件电压的响应为：

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

这里u(t)是单位阶跃函数且

${\displaystyle \tau ={L \over R}}$为时间常数。

类似的，电阻器电压的响应为：

${\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

RL电路的零输入响应（）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。[4]因为它没有外接输入信号，因此得名。

一个RL电路的零输入响应为：

${\displaystyle i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }\!\ }$.

其中${\displaystyle \tau }$是时间常数。