直角三角形

和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积T的公式为

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

其中a和b是直角三角形的二股。

若内切圆和斜边AB相切于P点，令半周长${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$为s，则${\displaystyle PA=s-a}$且${\displaystyle PB=s-b}$，面积可表示为

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}$

此公式只适用在直角三角形[3]。

直角三角形的高

若在直角三角形有直角的顶点处作往斜边的高，可以将三角形切割成二个较小的三角形，两者均和原三角形相似，且二个小三角形彼此相似。因此：

• 高为斜线切割出的二线段的几何平均数。
• 各股是直角三角形的高和斜线切割出的二线段中相邻部份的几何平均数。

若以方程序表示

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$（有时称为直角三角形高定理）

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

其中${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$均如图所示[4]^:p.156。

三角形的面积等于底边乘高除二，也等于二股乘积除二，两者相等，因此

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$。

斜边上的高和两股还有以下的关系[5][6]。

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

勾股定理的示意图

勾股定理也称为毕氏定理，内容如下：

在任意直角的三角形中，边长等于斜边的正方形，其面积等于边长等于两股的二个正方形的和

可以表示为以下的公式表示

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

其中${\displaystyle c}$为斜边长，而${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为剩下二股的长度。

直角三角形的内切圆

直角三角形的二股长度为${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，斜边长度为${\displaystyle c}$，内切圆的半径为

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

外置圆的半径为斜边的一半

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

直角三角形的任一股可以用内切圆半径和另一股长度表示：

${\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$（勾股定理）
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$[8]

• 角${\displaystyle A}$和角${\displaystyle B}$互为余角。
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB,}$其中P为内切圆和最长边AB相切的点[10]

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}$[11]

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$[12]
• 中线中有一条的长度等于外置圆半径。
• 高线中最短的（通过由最大角顶点的高线）将对边分为二个线段，高线恰为二线段的几何平均数，即为直角三角形高定理。

• 三角形可以放在一个半圆中，且一边恰和直径完全重合。
• 外置圆圆心恰为最长边的中点。
• 最长边的边长恰为外置圆的直径。${\displaystyle \displaystyle (c=2R).}$。
• 外置圆和九点圆相切[8]。
• 垂心在外置圆的圆周上[12]
• 内切圆圆心（内心）和垂心的距离为${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$.[12]。