繞固定軸旋轉

給定一個粒子沿著半徑為${\displaystyle r}$的圓的圓周移動，並移動了一段弧長${\displaystyle s}$，其角位置相對於其初始位置為${\displaystyle \ theta}$，其中 ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$.

在數學和物理學中，通常將平面角的單位弧度視為1，而通常省略它。單位轉換如下：

$${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.}$$

角位移是角位置的變化：

$${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},}$$

其中${\displaystyle \Delta \theta }$是角位移，${\displaystyle \theta _{1}}$是初始角位置，${\displaystyle \theta _{2}}$是最終角位置。

單位時間內角位移的變化稱為沿旋轉軸方向的角速度。角速度的符號為${\displaystyle \omega }$，單位通常為rads⁻¹。角速度是角速度向量的大小。

暫態角速度由下式給出

使用角位置的公式並讓 ${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}$， 我們也有

其中${\displaystyle v}$是粒子的平移速度。 角速度和頻率的關係如下

角速度的變化表明剛體中存在角加速度，通常以rads⁻²為單位量測。經歷一段時間Δt上的平均角加速度${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$由下式給出：

暫態加速度α(t) 由下式給定：

因此，正如加速度是速度的變化速率一樣，角加速度是角速度的變化率。

旋轉物體上任一點的平移加速度由下式給出

$${\displaystyle a=r\alpha ,}$$

其中的「r」是到旋轉軸的半徑或距離。這也是加速度的切向分量：它與點的運動方向相切。如果該分量為0，則運動為等速率圓周運動，並且速度僅在方向上變化。

徑向加速度（垂直於運動方向）由下式給出

$${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.}$$

它指向旋轉運動的中心，通常被稱為「向心加速度」。

角加速度是由轉矩引起的，根據正負角頻率的約定，轉矩]可以具有正值或負值。扭矩和角加速度之間的關係（啟動、停止或以其它方向改變旋轉的難度）由慣性矩給出：${\displaystyle T=I\alpha }$.

當角加速度恆定時，角位移的五個量${\displaystyle \theta }$、初始角速度${\displaystyle \omega _{1}}$、最終角速度${\displaystyle \omega _{2}}$、角加速度、${\displaystyle \alpha }$、和時間${\displaystyle t}$可以通過四個運動學方程來關聯：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}}$$

物體的慣性矩，以${\displaystyle I}$表示，是衡量物體對其旋轉變化的阻力。慣性矩以千克-米²（kg m²）為單位量測。它取決於物體的質量：增加物體的質量會增加慣性矩。它還取決於質量的分佈：距離旋轉中心越遠的質量分佈會在更大程度上增大慣性矩。對於質量為${\displaystyle m}$，且距離旋轉軸${\displaystyle r}$的單顆粒子，慣性矩由下式給出

扭矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$是施加在旋轉物體上的力「F」的扭曲效應，該旋轉物體位於距離其旋轉軸「r」的位置。 在數學上，

其中，×表示叉積。作用在物體上的淨轉矩將根據

就像線性動力學中的F = ma一樣

作用在物體上的扭矩所做的功等於扭矩的大小乘以施加扭矩的角度

$${\displaystyle W=\tau \theta .}$$

扭矩的功率等於扭矩每單位時間所做的功，因此：

$${\displaystyle P=\tau \omega .}$$

角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$是衡量旋轉物體促其靜止難易度的量。它由下式給定：

其中的總和是取對象中所有粒子的總和。

角動量是慣性矩和角速度的乘積：

就像線性動力學中的p = mv。

旋轉運動中的攪動量類似於線性運動中的動量。旋轉物體（如陀螺）的角動量越大，其繼續旋轉的趨勢就越大。

旋轉物體的角動量與其質量和旋轉速度成正比。此外，角動量取決於質量相對於旋轉軸的分佈方向：質量離旋轉軸越遠，角動量就越大。與質量和旋轉速度相同的空心圓柱體相比，像唱片轉盤這樣的平板具有更小的角動量。

像線性動量一樣，角動量也是向量，其守恆意味著自旋軸的方向往往保持不變。由於這個原因，旋轉的陀螺保持直立，而靜止的陀螺則立即翻轉

角動量方程可用於將物體繞軸的合力矩（有時稱為力矩）與繞該軸的旋轉速率聯系起來。

扭矩和角動量根據

正如線性動力學中的F = dp/dt。在沒有外部力矩的情况下，物體的角動量保持不變。角動量守恆在花樣滑冰中得到了顯著的證明：在旋轉過程中，當將手臂拉近身體時，慣性矩會减小，因此角速度會增加。

由物體旋轉引起的動能${\displaystyle K_{\text{rot}}}$由下式給出：

$${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$

就像線性動力學中的${\displaystyle K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$。

動能是運動的能量。在兩個變數中發現的平移動能的量： 物體的質量（${\displaystyle m}$）和物體的速度（${\displaystyle v}$），如上述方程所示。動能必須始終為零或正值[1]。

繞固定軸旋轉的最簡單情况是角速度不變，那麼總扭矩為零。以地球繞其軸線旋轉為例，摩擦力很小。對於風扇，電機施加扭矩以補償摩擦。與風扇類似，在製造業中發現大規模生產的設備可以有效地演示圍繞固定軸的旋轉。例如，多軸車床用於在其軸線上旋轉資料，以有效提高切割、變形和車削操作的生產率[2]。旋轉角是時間的線性函數，模360°是週期函數。

這方面的一個例子是具有圓形軌道的二體問題。

內部應力提供使旋轉物體保持在一起的向心力。剛體模型忽略了伴隨的應變 (材料科學)。如果物體不是剛性的，這種應變將導致它改變形狀。這表示為物體由於「離心力」而改變形狀。

繞彼此旋轉的天體通常有橢圓軌道，圓軌道的特殊情况是繞固定軸旋轉的一個例子：該軸是垂直於運動平面，穿過質心的線。向心力由重力提供，另見二體問題。這通常也適用於旋轉的天體，因此，除非角速度相對於其密度太高，它不需要是固體才能保持在一起（然而，它將傾向於變成扁球體。）。例如，一個旋轉的水天體，無論大小，其旋轉週期都必須高於3小時18分鐘才能，否則水就會分離。如果流體的密度更高，則時間可以更短。參見軌道週期[3]。