正切

直角三角形，∠C为直角，∠A 的角度为 ${\displaystyle \theta }$， 对于 ∠A 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角的正切定义为它的对边与邻边的比值，也就是：

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\,\!}$

可以发现其定义和余切函数互为倒数。

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y}{x}}}$

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，并令这个交点为y。另原点为O。做一直线，y点，垂直于${\displaystyle {\overline {Oy}}}$，并与单位圆相切，令直线与x轴的交点，则此点与y点之距离为正切比值。

单位圆上的正切

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函数变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数；但由于正切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是${\displaystyle \pi }$（180°），所以正切是周期为π（180°）的周期函数：

${\displaystyle \tan \theta =\tan \left(\theta +\pi k\right)=\tan \left(\theta +180^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

正切函数也可以使用泰勒展开式定义

${\displaystyle \tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$

其中${\displaystyle B_{2n}}$为伯努利数。

另外，我们也有

${\displaystyle \tan x=8x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-2k)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}.}$

${\displaystyle \tan }$的微分是${\displaystyle \sec }$的平方

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x\ =\sec ^{2}x}$

另外

${\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)}$

所以可以用

${\displaystyle \tan x=(-\ln(\cos x))'\,}$来定义。

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}{{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}}\,}$

${\displaystyle \tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}$

设${\displaystyle x_{i}=\tan(\theta _{i})}$，对于${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$。设${\displaystyle e_{k}}$是变量${\displaystyle x_{i}}$，${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$，${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$的${\displaystyle k}$次基本对称多项式。则

${\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}$

项的数目依赖于${\displaystyle n}$。例如，

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$

一物体在斜面上刚开始滑动时，其静摩擦系数为斜面倾角的正切值。