正割

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$为直角，${\displaystyle \angle A}$的角度为 ${\displaystyle \theta }$， 对于${\displaystyle \angle A}$而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}$

可以发现其定义和余弦函数互为倒数。

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的正割定义为：

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}$

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数：

${\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

正割函数和余弦函数互为倒数

即：[1]

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

正割也能使用泰勒级数来定义：

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.}$

其中${\displaystyle E_{n}}$为欧拉数。

另外，我们也有

${\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.}$

${\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}$

${\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

${\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}$