三角形

锐角三角形的所有内角均为锐角。

钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypotenuse）；或最长的边称为「弦」，底部的一边称作「勾」（又作「句」），另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）

直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。

三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 ${\displaystyle a}$ ，则其面积公式为 ${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 。

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。

等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 ${\displaystyle b}$ ，腰是 ${\displaystyle a}$，则其面积公式为 ${\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些数据中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

• 三角边长不等式

  三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。

• 三角内外角不等式

  三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

• 三角形外角

  三角形两内角之和，等于第三角的外角。

• 三角形内角和

  在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

勾股定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 ${\displaystyle c}$ 为斜边，即 ${\displaystyle c}$ 的对角 ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ ，则

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$，

则

${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$

设 ${\displaystyle R}$ 为三角形外置圆半径，则

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$

对于任意三角形：

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .}$

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}$ 时， ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ ，于是 ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$ 化简为 ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ 。

三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：

• SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。
• SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。
• ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。
• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边及另外一条直角边对应地相等。[1]
• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。

SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。[2]^:34[3]

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
• 三边成比例（3 sides proportional）：各三角形的三条边的长度都成同一比例。
• 两边成比例且夹角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的两条边之长度都成同一比例，且两条边之夹角都对应地相等。（或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，若三边${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c\,}$的中线分别为${\displaystyle m_{a}}$、${\displaystyle m_{b}}$、${\displaystyle m_{c}}$，则：

${\displaystyle m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}$

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，连接三个顶点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$上的高分别记作${\displaystyle h_{a}}$、${\displaystyle h_{b}}$、${\displaystyle h_{c}}$，则：

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}$

${\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}$

${\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}$

其中 ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ 。

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，若三个角${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$的角平分线分别为${\displaystyle t_{a}}$、${\displaystyle t_{b}}$、${\displaystyle t_{c}}$，则：

${\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}}$

${\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}}$

${\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}$

三角形的面积 ${\displaystyle A}$ 是底边 ${\displaystyle b}$ 与高 ${\displaystyle h}$ 乘积的一半，即：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$，

其中的高是指底边与对角的垂直距离。

证明

三角形的面积可表示为一长方形面积的一半。

从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 ${\displaystyle bh}$ 的长方形。因此原来的三角形面积为

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$。

证毕。

设 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ 为已知的两边， ${\displaystyle \gamma }$ 为该两边的夹角，则三角形面积是：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}$。

证明

三角形的高h能以正弦的定义表示。

观察右图，根据正弦的定义：

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {h}{a}}}$。

因此：

${\displaystyle h=a\sin \gamma }$。

将此式代入基本公式，可得：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}$。

证毕。

${\displaystyle \beta }$ 、 ${\displaystyle \gamma }$ 为已知的两角， ${\displaystyle a}$ 为该两角的夹边，则三角形面积是：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}}$。

证明

三角形的面积能从两角及其夹边求得。

从正弦定理可知：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}}$

代入 ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$ ，得：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}$。

注意到${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$，因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}}$

证毕。

海龙公式，其表示形式为：

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$，

其中 ${\displaystyle s}$ 等于三角形的半周长，即：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

${\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}$

也有用幂和来表示的公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}$[注 1]

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

${\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}$

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ，三角形面积为：

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}$。

由 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 、 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 及 ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：

${\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|}$

若三个顶点设在三维座标系上，即由 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 、 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 及 ${\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}$ 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}}$

设三角形三边边长分别为 ${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$ ，三角形半周长（ ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$ ）为 ${\displaystyle s}$ ，内切圆半径为 ${\displaystyle r}$，则：

${\displaystyle A=sr}$

若设外置圆半径为 ${\displaystyle R}$ ，则：

${\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}}$

证明

内切圆半径公式

三角形被三条角平分线分成三分。

根据右图，设 ${\displaystyle {\overline {AB}}=c}$ ， ${\displaystyle {\overline {AC}}=b}$ ， ${\displaystyle {\overline {BC}}=a}$ ，则三角形面积可表示为：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}}$

外置圆半径公式

根据正弦定理：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}}$

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}}$

设从一角出发，引出两边的矢量为 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 及 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ，三角形的面积为：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}$