三角学

图1a – 使用单位圆对于角θ的正弦和余弦进行定义。

上面的定义只是用于度数在0°到90°之间的角（0到${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$弧度）。使用单位圆，可以将它们扩展到所有度数为正、负的角上（参见三角函数）。三角函数为周期函数，周期为360°（${\displaystyle 2\pi }$个弧度）。这意味着在这个区间内，它们的值会反复出现。正切和余切函数周期较短，为180°（${\displaystyle \pi }$个弧度）。

三角函数还可以使用非上述集合定义来描述，如使用微积分和无穷级数。采取这种定义，三角函数可以扩展到复数。其中，复数指数函数十分有用。

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

参见欧拉公式和棣莫弗公式。

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  使用单位圆绘制${\displaystyle y=\sin x}$的过程。
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  使用单位圆绘制${\displaystyle y=\tan x}$的过程。
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  使用单位圆绘制${\displaystyle y=\csc x}$的过程。

恒等式是指那些无论给定值为多少都始终成立的等式。在三角函数中存在如下恒等关系：

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$ --- (1)

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A}$ --- (2)

${\displaystyle 1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A}$ --- (3)

对于任意三角形的正弦定理（又被称为“正弦法则”）公式如下[5]^:p.110：

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

其中，R是三角形外置圆的半径长度：

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在给定两条边的长度以及它们所夹角的角度，该三角形的面积为：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

任意三角形的余弦定理（又被称为余弦方程序、余弦法则），是勾股定理的一个扩展[5]^:p.112 ：

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}$

或者可以写作：

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,}$

正切定理如下：

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

欧拉公式定义，对于任意的${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$，于是产生了如下的对于e和虚数单位i的数学分析恒等式：

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

角度转换公式也称为和角公式或是和差公式，是有关二角和或差的三角函数的公式。

${\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B}$

${\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B}$

${\displaystyle \tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}}$

${\displaystyle \cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}}$

二倍角公式可以利用二角相等时的和角公式求得。

${\displaystyle \sin 2A=2\sin A\ \cos A}$

${\displaystyle \cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A=2\cos ^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A}$

${\displaystyle \tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}}$

利用和角公式也可以推导三倍角公式、四倍角公式等。

半角公式可以利用余弦函数的二倍角公式求得。

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos A \over 1+\cos A}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}}$

积化和差是将二个正弦及余弦函数的乘积转换为另外二个正弦及余弦函数的和或差，其逆运算即为和差化积。数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》给出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

积化和差 和差化积 ${\displaystyle \sin A\sin B={\cos(A-B)-\cos(A+B) \over 2}}$ ${\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ${\displaystyle \cos A\cos B={\cos(A-B)+\cos(A+B) \over 2}}$ ${\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ${\displaystyle \sin A\cos B={\sin(A+B)+\sin(A-B) \over 2}}$ ${\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}$ ${\displaystyle \cos A\sin B={\sin(A+B)-\sin(A-B) \over 2}}$ ${\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}$ 参考文献 R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002) Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer, 2001. ISBN 978-0-387-95136-2 Otto Neugebauer. . Springer-Verlag. 1975: 744– [2013-03-23]. ISBN 978-3-540-06995-9. （原始内容存档于2013-10-09）. "The Beginnings of Trigonometry （页面存档备份，存于）". Rutgers, The State University of New Jersey. . 北京: 清华大学出版社有限公司. 2006 [2013-08-21]. ISBN 7810826751. （原始内容存档于2014-08-19）. 注释 阿拉伯语ظل，意味阴影 参见 球面三角学 三角函数 三角恒等式 单位圆 延伸阅读 Boyer, Carl B. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. 1991. ISBN 0-471-54397-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press. Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner. 外部链接 从维基百科的姊妹计划 了解更多有关 “三角学”的内容 维基词典上的字词解释 维基共享资源上的多媒体资源 维基新闻上的新闻 维基语录上的名言 维基文库上的原始文献 维基教科书上的教科书和手册 维基学院上的学习资源 Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures（页面存档备份，存于） Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented. Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at Convergence Dave's Short Course in Trigonometry（页面存档备份，存于） by David Joyce of Clark University Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License（页面存档备份，存于）