拓扑学

非正式地说，「拓扑」是指一个集合里的元素之间空间上的关连。相同的集合可以有不同的拓扑。例如，实数线、复平面及康托尔集可被视为具有不同拓扑的相同集合。

形式上来看，令 ${\displaystyle X}$ 为一集合，且 ${\displaystyle \tau }$ 为 ${\displaystyle X}$ 的子集族；则 ${\displaystyle \tau }$ 称之为「${\displaystyle X}$ 上的拓扑」，若：

1. 空集合与 ${\displaystyle X}$ 均为 ${\displaystyle \tau }$ 的元素
2. ${\displaystyle \tau }$ 内元素间的任何联集均为 ${\displaystyle \tau }$ 的元素
3. ${\displaystyle \tau }$ 内有限多个元素间的任何交集均为 ${\displaystyle \tau }$ 的元素

若 ${\displaystyle \tau }$ 为 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑，则二元对 (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) 称之为「拓扑空间」。符号 ${\displaystyle X_{\tau }}$ 可用来标记具有特定拓扑 ${\displaystyle \tau }$ 的集合 ${\displaystyle X}$。

${\displaystyle \tau }$ 的元素被称为 ${\displaystyle X}$ 内的开集合。${\displaystyle X}$ 的子集被称为闭集合，若其补集为 ${\displaystyle \tau }$ 内的元素[注 6]。${\displaystyle X}$ 的子集可能是开集合、闭集合、两者都是（闭开集），或两者都不是。空集合及 ${\displaystyle X}$ 自身永远都同时是开集合与闭集合。一个包含点 ${\displaystyle x}$ 的开集合称之为 ${\displaystyle x}$ 的「邻域」。

一个具拓扑的集合称之为拓扑空间。

拓扑空间之间的函数被称为「连续」的，若任一开集合的原像均为开集合。若函数将实数映射至实数[注 7]，则其连续之定义等价于微积分内对连续之定义。若一连续函数为一对一且满射，且若其反函数亦为连续，则该函数称之为同胚，且该函数的定义域被称为同胚于其值域。[注 8]

因为拓扑空间极为多变且奇特，许多拓扑学的领域会专注于被称为流形的更为熟悉之空间。「流形」是一个拓扑空间，在每一点附近都类似欧氏空间。更确切地说，每个 ${\displaystyle n}$ 维流形上的点均有个与 ${\displaystyle n}$ 维欧氏空间同胚之邻域。线与圆是一维流形，而双扭线不是。二维流形亦称之为曲面。[注 9]

一般拓扑学是拓扑学的分支，处理用于拓扑学的基本集合论定义与建构[10]。一般拓扑学是拓扑学内大多数分支的基础，包括微分拓扑学、几何拓扑学与代数拓扑学。一般拓扑学又称为点集拓扑学。

点集拓扑学的基本概念为「连续性」、「紧致性」与「连通性」。直观来看，连续函数将邻近的点映射至邻近的点上。紧致集合为可被有限多个任意小之集合覆盖之集合。连通集合为不能被分成两个拆开之部分的集合。「邻近」、「任意小」与「拆开」等词都可以通过使用开集合来精确定义。若改变了开集合的定义，连续函数、紧致集合与连通集合的定义亦会改变。每个对「开集合」定义之选择均是一个「拓扑」。具拓扑之集合称之为「拓扑空间」。

「度量空间」是个可为距离指配一个被称为「度量」之数值的一类拓扑空间。拥有度量能简化许多证明，而许多常见的拓扑空间也都是度量空间。

代数拓扑学为数学的一个分支，使用抽象代数里的工具来研究拓扑空间[11]。其基本目标为寻找代数不变量，以分类同胚意义下的拓扑空间，但最常分类的是同伦等价下的拓扑空间。

其中最重要的不变量有同伦群、同调与上同调。

虽然代数拓扑学主要是使用代数来研究拓扑问题，但使用拓扑学来解决代数问题，有时也是有可能的。例如，代数拓扑数能轻易地证明自由群的任一个子群仍是个自由群。

微分拓扑学是一门学科，研究在微分流形上的可微函数[12]，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。

更具体来说，微分拓扑考虑只依靠定义在流形上之光滑结构的性质与结构。可在光滑流形上附加额外的几何结构，以用来阻碍存在于微分拓扑中的某几类等价与形变。例如，体积与黎曼曲率是可区分相同光滑流形上的不同几何结构之不变量；亦即，虽然可光滑地「摊平」某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。

几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维[注 10]流形及其与几何之交互的研究，但亦包括部分较高维拓扑[13][14]。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。

在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。

低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面 3 种几何的其中一种：正曲率/球面、零曲率/平面、负曲率/双曲面。三维的几何化猜想[注 11]表示，每个三维流形都可被分解成数个质流形，而每个质流形都会是八种几何的其中一种。

二维拓扑可被视为具单一变量的复几何[注 12]来研究。通过单值化定理，每类共形的度量都会等价于一个唯一的复流形。而四维拓扑则可被视为具有二个变量的复几何（复曲面）来研究，虽然不是每个四维流形都能有一个复结构。

有时需要用到拓扑学里的工具时，不一定存在「点的集合」。在无点拓扑学里，考虑改以开集合的格来作为该理论的基本概念[15]；而格罗滕迪克拓扑则是个定义在任意范畴上的结构，允许在这些范畴上定义出层，以及一般上同调理论的定义[16]。

纽结理论是拓扑学的一个分支，用于生物学中，以研究DNA内特定酶的影响。这些酶会切断、扭曲且重新连接 DNA，形成电泳速率较慢的可观察结果[17]。拓扑学也被用于演化生物学里，以表示表现型与基因型间的关系[18]。基因型的改变对表现型的改变之影响方式，可决定是否只需少数的突变，即可呈现出极为不同的表现型来。

拓扑数据分析使用代数拓扑学里的技术，以确认一个集合的大尺度结构[注 13]。拓扑数据分析使用的主要方法为：

1. 将一组数据线以单纯复形替代，并以邻近参数索引。
2. 使用代数拓扑学[注 14]分析这些拓扑复形[19]。
3. 以参数形式的贝蒂数编码一组数据的持续同调，称之为「条码」[19]。

在物理学里，拓扑学被用于量子场论及宇宙论等领域。

拓扑量子场论（或称拓扑场论）是一个用来计算拓扑不变量的量子场论。

虽然拓扑量子场论是由物理学家所发明，但亦与数学相关，与代数拓扑学里的纽结理论及四维流形之理论，以及代数几何里的模空间之理论等，均有关连。唐纳森、琼斯、维腾与孔采维奇等菲尔兹奖得主，其工作均与拓扑场论有关。

在宇宙论里，拓扑学可用来描述宇宙的整体形状[20]。这个领域被称为时空拓扑学[21]。

机器人的各种可能姿势可通过被称为位形空间的流形来描述[22]。在运动规划里，会找出在位形空间内两个点间的路径。这些路径表示机器人关节等部分移至所需位置与姿势的运动[23]。

拓扑在输电网络中，指网络建构与运行的路径，其根据系统可靠度的要求、负载和发电特性而有所不同。一般输电网络的拓扑可分为树状与网状两种结构。输电与配电网络最简单的拓扑是树状结构，由中央调控的高电压、大电流电力，借由变电站逐步降低电压、电流，分配至各树状分支线路中，直到到达目标家庭用户和企业用户为止。但是，单个节点故障可能会导致节点以下分支网络的失效。网状结构可以提供更高的可靠度，但是其运作与管理相对复杂[24]。