群作用

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一个元素，且群${\displaystyle \mathrm {G} }$在${\displaystyle \mathrm {X} }$上有着一个作用，那么${\displaystyle x}$的轨道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$就是指以下列方式定义的${\displaystyle \mathrm {X} }$的子集：

${\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}$

${\displaystyle \mathrm {X} }$的两个轨道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$和${\displaystyle \mathrm {G} _{y}}$有一个共通元素${\displaystyle a}$，那么就可以找到两个${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$、${\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，同时有${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$，而这使得这两个集合所有的元素都相等。

一个轨道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm {H} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一个子集，且定义${\displaystyle \mathrm {G} }$中元素的惯常运算规则为${\displaystyle \mathrm {H} }$在${\displaystyle \mathrm {G} }$上的一个作用，那么${\displaystyle \mathrm {H} }$的陪集${\displaystyle \mathrm {aH} }$(${\displaystyle a\in \mathrm {G} }$)就是${\displaystyle a}$的轨道。

若S是X的一个子集，群G作用在X上( X 被称作G-set)，对于群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有着 ${\displaystyle g\cdot x\in S}$，

则我们会说 S在G的作用下是封闭的，或是说，S在G作用下是不变的

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一个元素，对于群${\displaystyle \mathrm {G} }$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$，那么就称${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$-不变的（${\displaystyle \mathrm {G} }$-invariant）。

另外若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一个元素，则所有使得${\displaystyle g\cdot x=x}$的${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle g}$构成的集合又称${\displaystyle \mathrm {G} }$对于${\displaystyle x}$的稳定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} }$ with respect to ${\displaystyle x}$），一般常常将之记作${\displaystyle \mathrm {Gx} }$(注意：不要将之与上面轨道的符号混淆)。

${\displaystyle \mathrm {Gx} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一个子群，因为根据定义${\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }$，因此${\displaystyle \mathrm {G} }$的单比特${\displaystyle e}$属于${\displaystyle \mathrm {Gx} }$，且假若${\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }$，那么${\displaystyle m}$的逆元${\displaystyle m^{-1}}$也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$的元素，因为${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$。

考虑一个映射${\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}}$ 可以证明此映射是一个双射的函数，而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理 ${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理，${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$