同伦群

设 ${\displaystyle X}$ 为拓扑空间而 ${\displaystyle S^{n}}$ 为 ${\displaystyle n}$ 维球面。选定基点 ${\displaystyle a\in S^{n},x\in X}$。定义 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 为 ${\displaystyle [S^{n},X]}$，也就是由保持基点的连续映射 ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ 的同伦类构成的集合。为了方便起见，以纬垂坐标表示球面上的点，即：${\displaystyle s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}}$ 表示 ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}}$ 在商映射 ${\displaystyle [0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}}$ 下的像。取 ${\displaystyle S^{n}}$ 的基点为 ${\displaystyle a=0\wedge \cdots \wedge 0}$。

注意到当 ${\displaystyle n=0}$ 时，${\displaystyle S^{0}=\{-1,1\}}$ 而 ${\displaystyle \pi _{0}(X,x)}$ 的元素一一对应到 ${\displaystyle X}$ 的连通分支。

基本群的群运算

对于 ${\displaystyle n\geq 1}$，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 带有自然的群结构：首先，我们构造一个连续映射：

${\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}$

在此 ${\displaystyle S^{n}\vee S^{n}}$ 定义为将两份 ${\displaystyle S^{n}}$ 沿基点黏合得到的拓扑空间。映射 ${\displaystyle s}$ 定义为

${\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

直观来看，${\displaystyle s}$ 的效应相当于将球面 ${\displaystyle S^{n}}$ 沿赤道掐扁。

给定 ${\displaystyle f,g:I^{n}\to X}$，我们定义 ${\displaystyle f*g:=(f\sqcup g)\circ s}$，由于 ${\displaystyle f(a)=g(a)=x}$，此函数有完善的定义。此外也不难验证 ${\displaystyle f*g}$ 仅依赖于 ${\displaystyle f,g}$ 的同伦类。

可以证明运算 ${\displaystyle f,g\mapsto f*g}$ 满足群公理，其单比特素为常值映射 ${\displaystyle \forall s\in S^{n},\;e(s)=x}$。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ 不外就是基本群；而当 ${\displaystyle n\geq 2}$ 时，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 是阿贝尔群，称为高端同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。

若在定义中省掉基点，则得到的集合 ${\displaystyle [S^{n},X]}$ 等同于 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ 在 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ 作用下的轨道集。可见若 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\neq 0}$，${\displaystyle [S^{n},X]}$ 未必有自然的群结构。

设 ${\displaystyle p:E\to B}$ 为保基点的塞尔纤维化，纤维的同伦类定义为 ${\displaystyle F}$。此时可导出同伦群的长正合串行（以下略去基点）：

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1}$

尽管这里的 ${\displaystyle \pi _{0}}$ 只是个集合，而 ${\displaystyle \pi _{1}}$ 未必是阿贝尔群，它们仍带有特殊的元素（${\displaystyle \pi _{n\geq 1}}$ 的单比特、${\displaystyle \pi _{0}}$ 中包含基点的连通分支），可以用这些元素定义正合串行。

纤维化映射是计算高端同伦群的基本手段。

给定 ${\displaystyle A\subset X}$，可以定义相对同伦群 ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ 为映射 ${\displaystyle f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)}$ 的同伦类，这意味着我们仅考虑满足 ${\displaystyle f(S^{n-1})=x}$ 的连续映射，以及其间满足相同限制的同伦。若取 ${\displaystyle A}$ 为一点，便回到同伦群的原始定义。相对同伦群也有纤维化长正合串行。

• Hatcher, Allen, , Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始内容存档于2012-02-20）