原群

通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括：

• 拟群－可除总是可能的非空原群；
• 环群－有单比特的拟群；
• 半群－运算为可结合的原群；
• －有单比特的半群；
• 群－有逆元的，或等价地说，可结合的环群；
• 阿贝尔群－运算为可交换的群。

从原群到群有两条不同的路。注意：可除性和可逆性两者意指着消去性的存在。

原群的态射是一个函数 ${\displaystyle f:M\to N}$ ，将原群 M 映射至原群 N 上，并保留其二元运算：

${\displaystyle f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}$

其中的 ${\displaystyle *_{M}}$ 和 ${\displaystyle *_{N}}$ 分别代表着在 M 和 N 上的二元运算。

在一集合 X 上的自由原群 ${\displaystyle M_{X}}$ 是指由集合 X 产生出的「最一般可能的」自由原群（并没有任何的关系或公理在产生子上；详见自由对象）。自由原群可以用计算机科学中熟悉的词汇来描述，如同其树叶被 X 内的元素标示的二元树的原群，其运算是将树在树根上链接。因此，自由原群在句法学中有着很基本的重要性。

自由原群有个泛性质，其内容为：若 ${\displaystyle f:X\to N}$ 是一个从集合 X 映射至任一原群 N 的函数，则会存在唯一一个 ${\displaystyle f}$ 至原群态射 ${\displaystyle f^{\prime }}$ 的扩张。其中，

${\displaystyle f^{\prime }:M_{X}\to N}$

• 自由半群
• 自由群
• 自由李群

• M. Hazewinkel, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• M. Hazewinkel, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.